Enunciado

A haste uniforme da Figura P2.114 está articulada no ponto B na linha d’água e está em equilíbrio estático, como mostra a figura, quando são presos 2 kg de chumbo (d = 11,4) na sua extremidade. Qual é a densidade do material da haste? Qual é a peculiaridade do ângulo de equilíbrio theta = 30°?

Passo 1

E aí, galera, tudo bem? MecFlu pode parecer difícil, mas cola aqui que eu vou te ajudar!

A primeira ideia que a gente tem que ter da questão é de qual assunto ela faz parte. Esse problema em específico é referente à seção 2.8 do livro, chamada “Empuxo; princípios de Arquimedes”.

Pra entendermos a questão, vamos dar uma olhada na figura do enunciado.

Como podemos ver, temos uma haste de diâmetro D = 4   c m e altura 8   m articulada no ponto B , em equilíbrio estático, quando são presos 2   k g   de chumbo (de densidade d c h u m b o = 11,4 ), fazendo com que o ponto B faça um ângulo de 30 ° com relação à superfície livre da água.

O enunciado pede que a gente calcule a densidade do material da haste. Pra isso, nós precisamos entender que o empuxo total será uma contribuição tanto do empuxo da haste ( E _ h a s t e ) quanto do empuxo do corpo de chumbo ( E c h u m b o ).

Quando tivermos esses valores, basta que a gente volte um pouco no conhecimento das seções anteriores e façamos um balanço de momento com relação a B .

Nos próximos passos iremos calcular esses dois empuxos e fazer o balanço de momento. Vem comigo pra gente resolver a questão juntos!

Passo 2

Primeiro, iremos calcular o empuxo da haste E h a s t e . Devemos lembrar que pelas leis de Arquimedes, como a haste está submersa seu empuxo será dado pela equação:

E h a s t e = γ V d e s l

Sendo γ = 9790   N / m 3 o peso específico da água a temperatura ambiente e V d e s l o volume da haste cilíndrica inteira, pois ela encontra-se completamente submersa.

Logo, teremos:

E h a s t e = 9790 N m 3 π 4 0,04   m 2 × ( 8   m ) = 98,4 2   N

Depois, devemos calcular o empuxo do corpo de chumbo. Para isso vamos lembrar que o peso do chumbo pode ser calculado a partir da equação:

W c h u m b o = d c h u m b o γ V c

Sendo V c o volume do corpo de chumbo submerso.

Além disso, o empuxo do corpo de chumbo pode ser dado por:

E c h u m b o = γ V c

Como sabemos que W c h u m b o = m c h u m b o g = 19,62   N , basta substituirmos γ V c na equação acima:

E c h u m b o = W c h u m b o d c h u m b o = 19,62 N 11,4   = 1,72   N

Passo 3

Pra finalizar a questão, iremos realizar um balanço de momento com relação a B. Para que o corpo esteja em equilíbrio, esse balanço deve ser igual a zero:

∑ M B = 0 = ( W h a s t e - E h a s t e ) ( l h a s t e ) + ( W c h u m b o - E c h u m b o ) ( l c h u m b o )  

Sendo l h a s t e e l c h u m b o , respectivamente, as linhas de ações doas forças peso/empuxo da haste e do chumbo até a força B .

Bem, como ambos os corpos são uniformes, a distância deles será basicamente a distância do centro da haste e do centro do corpo de chumbo até o ponto B. Note que teremos que usar uma relação trigonométrica utilizando o ângulo de θ = 30 °   .

Logo, l h a s t e = 4 cos ⁡ 30 ° m e   l c h u m b o = 8 cos ⁡ 30 ° m .

Agora podemos voltar ao nosso balanço:

d h a s t e 98,42   N - 98,42   N 4 cos ⁡ 30 ° m + 19,62 N - 1,72   N 8 cos ⁡ 30 ° m = 0

d h a s t e 98,42   N = 62,62   N  

d h a s t e = 0,64

E antes da gente se despedir, quero que você preste atenção num negocinho. Tá vendo que, pelo nosso balanço, os dois termos dependendo do ângulo θ = 30 ° se cancelam? Isso quer dizer que esse sistema vai ser estável pra qualquer ângulo de inclinação.

Pronto, matamos o problema juntos!

Resposta

A densidade do material da haste é d h a s t e = 0,64 , e ela é estável para qualquer ângulo de inclinação θ

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