Enunciado

Um trenó-foguete, viajando sobre uma pista horizontal, é desacelerado por um retrofoguete com queima no sentido do trajeto. A velocidade inicial do trenó é u 0 = 500   m / s . A massa inicial do trenó é m 0 = 1500   k g . O retrofoguete consome combustível a uma taxa de 7,75   k g / s e os gases de descarga saem à pressão atmosférica e com uma velocidade de 2000   m / s em relação à cápsula. O retrofoguete opera por 20   s . Despreze o atrito de rolamento e o arrasto aerodinâmico. Obtenha uma expressão algébrica para a velocidade u do trenó como uma função do tempo de funcionamento do retrofoguete e trace o gráfico de u em função do tempo. Calcule a velocidade do trenó no final do funcionamento do retrofoguete.

Passo 1

Considerações Iniciais:

  1. Escoamento em estado estacionário;
  2. Escoamento incompressível;
  3. Escoamento com velocidade constante;
  4. Escoamento uniforme.
  5. Força de resistência desprezível.

Passo 2

Pelas considerações feitas no passo 1, utilizaremos a seguinte equação da quantidade de movimento:

F = F S + F B - ∫ V C a r ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C V ρ   d ∀ + ∫ S C V ( ρ V ) d A = 0

Como estamos analisando um sistema x , temos:

F S x + F B x - ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ   d ∀ + ∫ S C u ( ρ V ) d A

Não a resistência nem força de campo, então, F S x = F B x = 0 :

- ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ   d ∀ + ∫ S C u ( ρ V ) d A

Não temos a variação das propriedades com o tempo, então:

∂ ∂ t = 0

Assim:

- ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∫ S C u ( ρ V ) d A

Então:

- a r x ⋅ m = u c ⋅ m ˙

Passo 3

Como - a r x = - d u d t ( m 0 - m ˙ t ) :

d u d t = u c ⋅ m ˙ m = u c ⋅ m ˙ m 0 - m ˙ t

Assim:

d u = u c ⋅ m ˙ m 0 - m ˙ t d t

∫ u 0 u d u = u c ⋅ m ˙ ∫ 0 t 1 m 0 - m ˙ t d t

Integrando:

u - u 0 = u c ⋅ ln ⁡ 1 - m ˙ t m 0  

Isolando u , temos uma expressão algébrica para a velocidade u do trenó como uma função do tempo de funcionamento do retrofoguete:

u = u 0 + u c ⋅ ln ⁡ 1 - m ˙ t m 0  

Passo 4

Calculando a velocidade do trenó no final do funcionamento do retrofoguete.

Agora, apenas substituiremos os dados na equação do Passo 3:

u 0 = 500   m / s ;

u c = 2500   m / s ;

m ˙ = 7,75   k g / s ;

m 0 = 1500   k g ;

t = 20   s .

Então:

u = 500 + 2500 ⋅ ln ⁡ 1 - 7,75 ⋅ 20 1500 = 227   m / s

Passo 5

Gráfico de u em função do tempo:

Resposta

u = u 0 + u c ⋅ ln ⁡ 1 + m ˙ t m 0  

u = 227   m / s

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