Enunciado

Um tubo de aço inoxidável (AISI 316 ), com parede espessa e diâmetros interno e externo de D i = 20   m m e D e = 40   m m , é aquecido eletricamente para fornecer uma taxa de geração térmica uniforme de q ˙ = 10 6   W / m 3 . A superfície externa do tubo encontra-se termicamente isolada, enquanto água escoa através do tubo a uma vazão de m ˙ = 0,1   k g / s .

(a) Se a temperatura de entrada da água é de T m ,   e n t = 20 ° C e a temperatura de saída desejada é de T m ,   s a i = 40 ° C , qual é o comprimento do tubo necessário?

(b) Quais são a localização e o valor da temperatura máxima no tubo?

Passo 1

Temos água escoando dentro de um tubo de aço inox ( k t u b o = 15   W / m K ,   de acordo com a tabela A-1, do apêndice A) a uma vazão de m ˙ = 0,1   k g / s . Durante o percurso a água é aquecida de T m ,   e n t = 20 ° C até T m ,   s a i = 40 ° C , devido a taxa de geração térmica fornecida pelo tubo, q ˙ = 10 6   W / m 3 .

Devemos determinar qual deve ser o comprimento da tubulação para garantir o aquecimento da água. Vamos lá?

Vamos começar determinando qual deve ser a energia que a água recebe. Podemos calcular isso pela relação:

q = m ˙ c p T m ,   s a i - T m ,   e n t

Além disso, vamos considerar que não há perda de energia no processo. Ou seja, toda a taxa de geração é convertida em energia para aquecer a água. Então:

q = q ˙ V

m ˙ c p T m ,   s a i - T m ,   e n t = q ˙ V

m ˙ c p T m ,   s a i - T m ,   e n t = q ˙ π 4 D e 2 - D i 2 L

L = 4 m ˙ c p T m ,   s a i - T m ,   e n t q ˙ π D e 2 - D i 2

Para calcular o comprimento ainda precisamos do calor específico médio da água. Então, nosso próximo passo é calcular a temperatura média. A temperatura média da água é:

T - m = T m ,   e n t + T m ,   s a i 2

T - m = 20 + 40 2

T - m = 30 ° C

Nesta temperatura (tabela A-6, apêndice A):

c p = 4178   J / k g K

Voltando para a equação de comrimento da tubulação:

L = 4 × 0,1 × 4178 × 40 - 20 10 6 × π × 40 × 10 - 3 2 - 20 × 10 - 3 2

L = 8,9   m

Passo 2

Vamos agora para o item (b). Devemos primeiro dizer onde é o ponto de máxima temperatura do sistema. O fluxo é fornecido à água através das paredes do sistema, então, é esperado que a temperatura da superfície externa do tubo seja superior às outras.

Além disso, a taxa de geração é constante. O que só é possível se a temperatura do tubo aumentar na mesma direção que a água. Como a água atinge sua maior temperatura no final da tubulação, é de esperar que ocorra o mesmo para o tubo.

Então, a temperatura máxima ocorre em x = L ,   r = r e .

Agora que determinamos a localização, precisamos definir qual será o valor da temperatura máxima. Para um escoamento em um duto cilíndrico com taxa de geração volumétrica constante, o perfil de temperaturas é dado por:

T r = - q ˙ 4 k t u b o r 2 + C 1 ln ⁡ r + C 2

Nosso próximo passo será aplicar as condições de contorno para o problema para definir as constantes C 1 e C 2 . Como acabamos de comentar, a temperatura máxima ocorre em r = r e , então:

d T d r r = r e = 0

d d r - q ˙ 4 k t u b o r 2 + C 1 ln ⁡ r + C 2 r = r e = 0

- q ˙ 2 k t u b o r e + C 1 r e = 0

C 1 = q ˙ 2 k t u b o r e 2

A outra condição que vamos adotar é que em r = r i → T = T s . Então:

T r = - q ˙ 4 k t u b o r 2 + C 1 ln ⁡ r + C 2

T s = - q ˙ 4 k t u b o r i 2 + q ˙ 2 k t u b o r e 2 ln ⁡ r i + C 2

C 2 = T s + q ˙ 4 k t u b o r i 2 - q ˙ 2 k t u b o r e 2 ln ⁡ r i

Substituindo no perfil de temperatura:

T r = - q ˙ 4 k t u b o r 2 + q ˙ 2 k t u b o r e 2 ln ⁡ r + T s + q ˙ 4 k t u b o r i 2 - q ˙ 2 k t u b o r e 2 ln ⁡ r i

T r = - q ˙ 4 k t u b o r 2 - r 1 2 + q ˙ 2 k t u b o r e 2 ln ⁡ r r 1 + T s

Nosso próximo passo será determinar a temperatura da superfície interna do tubo T s .

Passo 3

Para encontrar T s vamos começar considerando que o calor no interior do tubo só é transferido por convecção. Ou seja:

q = q c o n v

No final da tubulação:

q = h A s T s - T m ,   s a i

Além disso, sabemos que há uma taxa de geração volumétrica constante. Então:

q = q ˙ V

h A s T s - T m ,   s a i = q ˙ V

h π D i L T s - T m ,   s a i = q ˙ π 4 D e 2 - D i 2 L

h D i T s - T m ,   s a i = q ˙ 1 4 D e 2 - D i 2

T s - T m ,   s a i = q ˙ 4 h D i D e 2 - D i 2

T s = T m ,   s a i + q ˙ 4 h D i D e 2 - D i 2

Agora que temos uma relação para a temperatura da superfície, só nos resta determinar o coeficiente convectivo.

Para isso, vamos reunir mais algumas propriedades da água na temperatura média (tabela A-6, apêndice A):

k = 0,617   W / m K

μ = 803 × 10 - 6   N s / m 2

P r = 5,45

O próximo passo será o cálculo do número de Reynolds:

R e D = 4 m ˙ π D i μ

R e D = 4 × 0,1 π × 20 × 10 - 3 × 803 × 10 - 6

R e D = 7928

Como R e D > 2300 , o escoamento é turbulento.

Passo 4

Para escoamento turbulento no interior de dutos cilíndricos e 3000 < R e D < 5 × 10 6 :

N u D = h D i k = f / 8 R e D - 1000 P r 1 + 12,7 f / 8 1 2 P r 2 3 - 1

Em que o fator de atrito é dado por

f = 0,790 ln ⁡ R e D - 1,64 - 2

f = 0,790 ln ⁡ 7928 - 1,64 - 2

f = 0,0336

Então:

h = k D i × f 8 R e D - 1000 P r 1 + 12,7 f 8 1 2 P r 2 3 - 1

h = 0,617 20 × 10 - 3 × 0,0336 8 × 7928 - 1000 × 5,45 1 + 12,7 × 0,0336 8 1 2 × 5,45 2 / 3 - 1

h = 1796   W / m 2 K

Substituindo o coeficiente convectivo na relação de temperatura na superfície interna:

T s = T m ,   s a i + q ˙ 4 h D i D e 2 - D i 2

T s = 40 + 10 6 4 × 1796 × 20 × 10 - 3 40 × 10 - 3 2 - 20 × 10 - 3 2

T s = 48,3 ° C

Nosso último passo será aplicar este valor para encontrar a temperatura máxima:

T r e = T m á x = - q ˙ 4 k t u b o r e 2 - r 1 2 + q ˙ 2 k t u b o r e 2 ln ⁡ r e r 1 + T s

T m á x = - 10 6 4 × 15 20 × 10 - 3 2 - 10 × 10 - 3 2 + 10 6 2 × 15 20 × 10 - 3 2 ln ⁡ 20 × 10 - 3 10 × 10 - 3 + 48,3

T m á x = 52,6 ° C

Resposta

(a) O comprimento do tubo deve ser L = 8,9   m .

(b) A temperatura máxima será T m á x = 52,6 ° C , e ela ocorre em x = L ,   r = r e .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A água entra em um tubo de 5 mm de diâmetro e 13 m de comprimento a 45°C com velocidade de 0,3 m/s. O tubo é mantido a uma temperatura constante de 5°C. O comprimento necessário do tubo para que a águ
Ar a 110°C entra em um duto de 18 cm de diâmetro e 9 m de comprimento com velocidade de 4,5m/s. O duto é quase isotérmico a 85°C. A taxa de perda de calor do ar no duto é: 760W ; 890W ; 1210W ; 1370W
A água entra em um tubo de 5 mm de diâmetro e 13 m de comprimento a 45°C, com uma velocidade de 0,3 m/s. O tubo é mantido a uma temperatura constante de 8°C. A temperatura de saída da água é: 4 , 4 °
Qual a propriedade de um fluido é responsável pelo desenvolvimento da camada limite hidrodinâmica? Para que tipo de fluido não haverá nenhuma camada limite hidrodinâmica do tubo?
Qual é o valor do número de Reynolds geralmente aceito acima do qual o escoamento em tubos lisos é turbulento?