Enunciado

Um tubo de drenagem circular, de concreto sem acabamento, é assentado em um declive de 0,0025 e está planejado para conduzir de 1,4 a 8,5 m3/s de água drenada. As restrições do projeto são que (1) a profundidade da água não pode ultrapassar 3/4 do diâmetro e (2) o escoamento deve ser sempre subcrítico. Qual é o diâmetro apropriado para satisfazer a esses requisitos? Se não houvesse nenhum tubo comercial com esse diâmetro exato, você compraria o tubo do diâmetro mais próximo menor ou maior?

Passo 1

E aí, galera, tudo bem? MecFlu pode parecer difícil, mas cola aqui que eu vou te ajudar!

Nessa questão, temos um tubo de concreto sem acabamento ( n   =   0,014 ), com declividade S 0 = 0,0025 , projetado para a profundidade da água não ultrapassar 3/4 do diâmetro, enquanto conduz de 1,4   a 8,5   m 3 / s de água.

Uma respresentação esquemática do problema pode ser vista na Figura 10.6 (a), na página 716.

A questão nos pede então pra descobrir qual o diâmetro apropriado para satisfazer esses requisitos. Pra isso, a gente vai usar as equação adequadas para escoamento uniforme em um tubo circular parcialmente cheio, apresentadas na página 715:

A = R θ - sen ⁡ 2 θ 2

R h = R 2 1 - sen ⁡ 2 θ 2 θ

Passo 2

Pra começo de conversa, temos que descobrir qual o ângulo θ pra esse caso específico. Bem, por simples análise trigonométrica, se a altura não pode passar 3 / 4 do diâmetro, \ h e t a = 120 ° .

Sendo assim, podemos calcular A = 2,53 R ² e R h = 0,603 R .

Pra calcular a vazão necessária pra mante esse escoamento, utilizamos a equação 10.19, apresentada na página 714:

Q = 1 n A R h 2 / 3 S 0 1 / 2

Vamos considerar, então, Q = 8,5   m 3 / s , a vazão volumétrica máxima que o escoamento assumirá. Se essa vazão cumprir os requisitos, as outras também irão.

Sendo assim:

8,5 m 3 s = 1 0,014 2,53 R 2 0,603 R 2 3 0,0025 1 / 2

R = 1,23   m

Logo, D = 2 R = 2,46   m .

Passo 3

Agora, devemos checar se o escoamento é subcrítico. Pra isso, basta a gente olhar pra esse esquema do tubo:

Podemos descobrir o tamanho da largura b 0 pro caso do nosso tubo, devemos utilizar simples propriedades trigonométricas:

b 0 = 2 R cen ⁡ θ - 90 ° = 2 1,23   m cos ⁡ 120 °   - 90 ° = 2,13 m  

Podemos também calcular a vazão crítica Q c a partir da equação 10.37a, dada na página 721:

A 3 = b 0 Q c 2 g

Utilizando novamente algumas propriedades trigonométricas simples:

2,53 1,23   m ² 3 = 2,13 m Q c 2 9,81   m / s ²

Q c = 16,07   m ³ / s

Como Q c > Q o escoamento é subcrítico, e cumprimos um dos objetivos.

Passo 4

Agora, pra finalizar a questão, vamos responder à pergunta no fim do enunciado: a gente escolheria um diâmetro próximo maior ou menor que o calculado?

Bem, como o escoamento será subcrítico mesmos e aumentarmos o diâmetro, pois como vimos no passo anterior a vazão crítica vai ser maior se a área for maior, então vamos escolher o diâmetro um pouco acima.

Pronto, matamos a questão juntos!

Resposta

O diâmetro apropriado para satisfazer os requisitos do problema é D - 2,46   m

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