Enunciado

No tubo em U da figura, de seção de área A, oscila, em torna da posição de equilíbrio, uma coluna de comprimento total L de um líquido admitido ideal. Determinar o período T da oscilação.

Passo 1

Pela equação 10.18:

N - N d i s s = ∂ ∂ t ∫ V C ρ v 2 2 + g z d V + ∫ S C ρ v 2 2 + p ρ + g z v → × n → ⋅ d A

Considerando que não há perdas N d i s s = 0 e nem fontes de externas de potência N = 0

∂ ∂ t ∫ V C ρ v 2 2 + g z d V + ∫ S C ρ v 2 2 + p ρ + g z v → × n → ⋅ d A = 0

Para um líquido incompressível ideal:

∂ ∂ t ∫ V C ρ v 2 2 + g z d V + ρ ∫ S C v 2 2 + p ρ + g z v → × n → ⋅ d A = 0

Pondo a gravidade para fora da integral:

∂ ∂ t ∫ V C ρ v 2 2 + g z d V + ρ g ∫ S C v 2 2 g + p ρ g + z v → × n → ⋅ d A = 0

Como a velocidade é normal à saída:

∂ ∂ t ∫ V C ρ v 2 2 + g z d V + γ ∫ S C v 2 2 g + p γ + z d Q = 0

Integrando:

∂ ∂ t ∫ V C ρ v 2 2 + g z d V + ρ g Q v 2 2 2 g + p 2 γ + z 2 - v 1 2 2 g + p 1 γ + z 1 = 0

Organizando:

∂ ∂ t ∫ V C ρ v 2 2 + g z d V + γ Q v 2 2 2 g - v 1 2 2 g + p 2 γ - p 1 γ + z 2 - z 1 = 0

Passo 2

Observando o manômetro, percebemos que o ponto (1) e (2) são abertos para a atmosfera:

p 1 = p 2 = p a t m

Por ser uma oscilação, a diferença entre as alturas e o ponto de referência é sempre igual, mas oposta:

z 2 = - z 1 = z

Pela mesma lógica, as velocidades tem o mesmo módulo, então, quando elevadas ao quadrado:

v 2 2 = v 1 2 = v 2

Então:

∂ ∂ t ∫ V C ρ v 2 2 + g z d V + γ Q v 2 2 g - v 2 2 g + p a t m γ - p a t m γ + z + z = 0

∂ ∂ t ∫ V C ρ v 2 2 + g z d V + 2 z ⋅ γ Q = 0

1 γ Q ⋅ ∂ ∂ t ∫ V C ρ v 2 2 + g z d V = - 2 z

Passo 3

1 γ Q ⋅ ∂ ∂ t ∫ V C ρ v 2 2 + g z d V = - 2 z

Reorganizando

1 γ Q ⋅ ∂ ∂ t ∫ V C ρ v 2 2 d V + ∂ ∂ t ∫ V C ρ g z d V = - 2 z

Para o volume de controle não há variação de energia potencial, pois quando um lado sobe, o outro desce. Então a expressão:

∂ ∂ t ∫ V C ρ g z d V = 0

Logo:

1 γ Q ⋅ ∂ ∂ t ∫ V C ρ v 2 2 d V = - 2 z

Como a velocidade não varia com o volume:

ρ 2 γ Q ⋅ ∂ v 2 ∂ t ∫ V C d V = - 2 z

Integrando:

V 2 g Q ∂ v 2 ∂ t = - 2 z

Passo 4

A velocidade só é função do tempo dentro do percurso L . Nesse momento o volume é dado por V = L A

L A 2 g Q ∂ v 2 ∂ t = - 2 z

Derivando:

L A 2 g Q ⋅ 2 v d v d t = - 2 z

A vazão é dada por: Q = A v

L A 2 g ⋅ A v ⋅ 2 v d v d t = - 2 z

L g d v d t = - 2 z

Mas a velocidade é função de z . Pela regra da cadeia:

d v d t = d v d z ⋅ d z d t

E:

d z d t = v

Aplicando:

L g d v d z ⋅ d z d t = - 2 z

L g d v d z ⋅ v = - 2 z

v d v = - 2 g L z ⋅ d z

Passo 5

Integrando:

∫ v d v = - ∫ 2 g L z ⋅ d z

v 2 2 + C 1 = - 2 g L ⋅ z 2 2 + C 2

Subtraindo as constantes:

v 2 2 = - g L z 2 + C

Quando a altura for máxima, a velocidade é igual a zero:

z = z m á x ⇒ v = 0

Aplicando>

0 2 2 = - g L z m á x 2 + C

C = g z m á x 2 L

Então a equação da velocidade é:

v = 2 g L ⋅ z m á x 2 - z 2

Passo 6

Também sabemos que:

v = d z d t

Então:

d z = v d t

Aplicando:

d z = 2 g L ⋅ z m á x 2 - z 2   d t

Chegamos em:

d z z m á x 2 - z 2 = 2 g L ⋅   d t

Integrando os dois lados:

∫ d z z m á x 2 - z 2 = ∫ 2 g L ⋅   d t

Utilizando uma tabela de integrais:

arcsen ⁡ z z m á x + K 1 = 2 g L t + K 2

Unindo as constantes:

arcsen ⁡ z z m á x = 2 g L t + K

Quando o tempo for zero a coluna estará em equilíbrio com z = 0

arcsen ⁡ 0 = 0 + K

K = 0

Passo 7

Se quando o tempo é zero a coluna está em equilíbrio, quando a coluna alcançar a altura máxima terá se passado 1 quarto do período. Então

z = z m á x ⇒ t = T 4

Aplicando:

arcsen ⁡ z m á x z m á x = 2 g L ⋅ T 4

arcsen ⁡ 1 = 2 g L ⋅ T 4

T = π 2 ⋅ L 2 g ⋅ 4

T = 2 π ⋅ L 2 g

Resposta

T = 2 π ⋅ L 2 g

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