Enunciado

Uma turbina hidráulica é projetada para produzir 26800 kW a 95 rpm sob uma altura de carga de 15 m. Um modelo em instalações de laboratório pode gerar 35 kW para uma altura de 5 m. Determine (a) a velocidade de teste do modelo e a razão de escala e (b) a vazão volumétrica, considerando que a eficiência do modelo é de 86%.

Passo 1

Tá legal, vamos começar o exercício encontrando o valor da altura de carga específica para o caso do protótipo e do modelo, então, temos:

h p = H p g = 15 9,81 → h p = 147,15   m

h m = H m g = 5 9,81 → h m = 49,05   m

Agora, sabemos que a velocidade específica para uma turbina pode ser escrita como:

N S = ω P 1 2 ρ 1 2 h 5 4

E, como queremos semelhança entre modelo e protótipo, a velocidade específica deve ser a mesma nos dois casos, então, temos:

N S p = N S m

ω p P p 1 2 ρ p 1 2 h p 5 4 = ω m P m 1 2 ρ m 1 2 h m 5 4

Como o enunciado não mencionou nada, vamos assumir que o modelo e o protótipo serão testados sob a mesma atmosfera, então ρ p = ρ m , dessa forma, substituindo os valores conhecidos na equação anterior, temos:

95 26800 1 2 147,15 5 4 = ω m 35 1 2 49,05 5 4 → ω m = 665,8   r p m

Passo 2

Agora para descobrir a razão de escala, vamos utilizar um grupo adimensional visto nessa seção:

H ω 2 D 2

Então, igualando o adimensional entre protótipo e modelo, temos:

H p ω p 2 D p 2 = H m ω m 2 D m 2

Substituindo os valores conhecidos, temos:

15 95 2 D p 2 = 5 665,8 2 D m 2 → D p D m = 12,14

Passo 3

Agora, para encontrar a vazão do modelo, vamos recorrer à equação da eficiência, que é dada por:

η = P m P h

A potência mecânica foi dada no enunciado, já a potência hidráulica pode ser escrita como:

P h = ρ g Q H

Substituindo essa expressão na equação para a eficiência, temos:

η = P m ρ g Q H

Então, substituindo os valores conhecidos, temos:

0,86 = 35000 999 9,81 Q 5 → Q = 0,83   m 3 / s

Resposta

ω m = 665,8   r p m

D p D m = 12,14

Q = 0,83   m 3 / s

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