Enunciado

Considere o sistema de filtragem de piscina do Problema 8.190. Considere também que o tubo usado é de PVC, com diâmetro nominal de 20 mm (plástico liso). Especifique a velocidade e o diâmetro do rotor e estime a eficiência de uma bomba adequada.

Passo 1

Beleza! Vamos começar o exercício aplicando o equilíbrio de energia para o sistema entre a saída da bomba (ponto 1) e a bifurcação (ponto 2), então, temos:

p 1 ρ g + V 1 2 2 g + z 1 = p 2 ρ g + V 2 2 2 g + z 2 + H 1 T

Nesse caso, como as dimensões do tubo permanecem constantes, e a vazão também não muda, então temos V 1 = V 2 = V . Nesse exercício, também não temos diferença entre as cotas z 1 e z 2 , dessa forma a equação se torna:

p 1 ρ g = p 2 ρ g + H 1 T

E, sabemos que a perda de carga, contendo perdas distribuídas e localizadas, pode ser escrita como:

H 1 T = f L V 2 2 g D + ∑ f L e V 2 2 g D + V 2 2 g ∑ K

Como já temos a vazão e o diâmetro da tubulação, vamos calcular a velocidade do sistema:

Q = V A = V π D 2 4 → V = 4 Q π D 2 = 4 1,9.10 - 3 π 20.10 - 3 2 → V = 6,05   m / s

Passo 2

Agora com a velocidade fornecida no enunciado, conseguimos encontrar o número de Reynolds, para isso, vamos pegar alguns dados da Tabela A.7 do livro:

ρ = 998   k g / m 3 ; ν = 1,01.10 - 6   m 2 / s ; p v = 2,34   k P a

Então, Reynolds será:

R e = V D ν = 6,05 0,02 1,01.10 - 6 → R e = 1,20 . 10 5

Agora, para encontrar o fator de atrito, precisamos primeiro pegar o dado referente à rugosidade da tubulação, que se encontra na tabela a seguir presente no capítulo 8:

Nesse caso, não temos PVC na tabela, mas como o enunciado disse que temos um plástico liso, então vamos considerar e = 0 . Então agora podemos usar a equação de Colebrook e descobrir o valor do fator de atrito:

1 f = - 2 log ⁡ e 3,7 D + 2,51 R e f

Substituindo os valores conhecidos (lembrando que só conseguimos resolver essa equação com o auxílio de uma calculadora), temos:

1 f = - 2 log ⁡ 0 3,7 0,02 + 2,51 1,2 . 10 5 f → f = 0,017

Passo 3

Agora vamos voltar à equação do equilíbrio de energia do passo 1:

p 1 ρ g = p 2 ρ g + H 1 T

E substituir a expressão encontrada para a perda de carga no passo 1:

p 1 ρ g = p 2 ρ g + f L V 2 2 g D + ∑ f L e V 2 2 g D + V 2 2 g ∑ K

Agora precisamos recorrer às tabelas 8.2 e 8.4 apresentadas no livro e o diagrama para contração/expansão para encontrar os coeficientes de perda:

Só que, nesse exercício e para esse trecho não temos acessórios e nem perdas localizadas, dessa forma, temos:

L e D = 0

K = 0

Passo 4

Agora que temos todos os dados, podemos substituir os valores conhecidos na equação de energia do passo 3, então:

p 1 ρ g = p 2 ρ g + f L V 2 2 g D + ∑ f L e V 2 2 g D + V 2 2 g ∑ K

p 1 999 9,81 = p 2 999 9,81 + 0,017 3 6,05 2 2 ( 9,81 ) 0,02 + 0 + 0

p 1 - p 2 = Δ p = 46621,5   P a

Passo 5

Agora, sabendo que independente do caminho percorrido pelo fluido após se separar, ambos irão descarregar na atmosfera, e como eles estão a mesma pressão p 2 , então a queda de pressão nos dois trechos deve ser igual.

Δ p 2,3 = Δ p 2,4 = Δ p 2

Onde 3 indica o caminho do filtro e 4 o outro caminho. Então, a equação da energia para o caminhdo do filtro iria se resumir em:

p 2 ρ g = p 3 ρ g + f L 3 V 3 2 2 g D

Escrevendo V em função da vazão, temos:

Δ p 2 ρ g = f L 3 2 g D 4 Q 3 π D 2 2 → Δ p 2 ρ g = 8 f L 3 Q 3 2 g π 2 D 5

E, da mesma forma, para o trecho 4, temos:

p 2 ρ g = p 4 ρ g + f L 4 V 4 2 2 g D

Escrevendo V em função da vazão, temos:

Δ p 2 ρ g = f L 4 2 g D 4 Q 4 π D 2 2 → Δ p 2 ρ g = 8 f L 4 Q 4 2 g π 2 D 5

Igualando as duas expressões para Δ p 2 / ρ g , temos:

8 f L 3 Q 3 2 g π 2 D 5 = 8 f L 4 Q 4 2 g π 2 D 5 → Q 3 = Q 4 L 4 L 3

No entanto, sabemos que a vazão que vem da bomba se divide nos caminhos 3 e 4, de forma que:

Q = Q 3 + Q 4

Substituindo o valor de Q dado no enunciado e a expressão para Q 3 encontrada, temos:

1,9.10 - 3 = Q 4 L 4 L 3 + Q 4 → 1,9.10 - 3 = Q 4 12,2 6,1 + Q 4

Q 4 = 7,87.10 - 4   m 3 / s

E então, Q 3 será:

1,9.10 - 3 = Q 3 + 7,87.10 - 4 → Q 3 = 1,11.10 - 3   m 3 / s

E a queda de pressão nesse trecho será:

Δ p 2 ρ g = 8 f L 4 Q 4 2 g π 2 D 5 → Δ p 2 999 ( 9,81 ) = 8 0,017 12,2 7,87.10 - 4 9,81 π 2 0,02 5 → Δ p 2 = 4214,6   P a

Dessa forma, a altura de carga da bomba será:

H b = Δ p t o t a l ρ g = 46621,5 + 4214,6 999 9,81 → H b = 5,19   m

Passo 6

Então, para essa altura de carga e para a vazão de Q = 1,9.10 - 3   m 3 / s = 0,114   m 3 / m i n , de acordo com o diagrama de seleção de bombas a seguir:

Não temos nenhuma bomba que atende a essas especificações, devido a baixa altura de carga. Então calculando a velocidade específica da bomba assumindo uma rotação ω = 3500   r p m , temos:

N = ω Q 1 2 g H b 3 4 = 3500 2 π 60 1,9.10 - 3 1 2 9,81 5,19 3 4 → N = 0,838

Obs: com os diagramas fornecidos no apêndice D do livro, também não temos como encontrar um diâmetro D para o rotor, já que não conseguimos encontrar um modelo de bomba adequado.

Agora iremos recorrer ao diagrama a seguir para encontrar a eficiência:

No entanto, ele apresenta a velocidade específica no sistema americano, e conforme vimos no Exemplo 10.2 dessa seção, para converter o valor no sistema internacional para o sistema americano, basta fazer:

N S c u = 3046 N S = 3046 0,838 → N S c u = 2552,5

Então, através do gráfico, obtemos uma eficiência:

η = 0,71

Resposta

ω = 3500   r p m

η = 0,71

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