Enunciado

Vimos no Capítulo 3 que a força de empuxo, F B , sobre um corpo submerso em um fluido é diretamente proporcional ao peso específico do fluido, γ . Demonstre isso usando a análise dimensional, iniciando com a força de atrito como sendo uma função do volume do corpo e do peso específico do fluido.

Passo 1

A gente consegue resolver essa questão usando o Teorema Pi de Buckingham. Vamos lá!

Então vamos começar separando nossos parâmetros, temos n = 3 :

F B V γ

Passo 2

Agora vamos identificar o número mínimo de dimensões que podemos escrever os parâmetros que separamos no passo 1: Massa M , comprimento L e tempo t .

Colocar as unidades correspondentes de cada parâmetro:

F B V γ

F L 3 F L 3

Nosso número de dimensões é r = 2 dimensões independentes, sendo elas V e γ .

Passo 3

O nosso número mínimo de dimensões é m = 2 . Então já sabemos que r = m . Show!

Agora vamos calcular a quantidade de grupos adimensionais:

n - m = 1

Beleza! Agora podemos então montar a equação, a primeira será:

Π 1 = F B * V a * γ b

F * L 3 a * F L 3 b = F 0 * L 0

Agora analisando os expoentes:

F :   1 + b = 0

L : 3 a - 3 b = 0

O resultado desse sisteminha pra resolver vai nos dar:

a = - 1 b = - 1

Passo 4

Nossa equação para adimensionalizar vai ficar:

Π 1 = F B * V - 1 * γ - 1

Π 1 = F B V γ

Prontinho!!

Passo 5

A relação entre a força de empuxo com o peso específico do fluido é:

Π 1 = F B V γ = C

F B = C * V * γ

Então a nossa força de empuxo será proporcional ao volume e ao peso específico do fluido.

Acabamos! Uhul!

Resposta

F B = C * V * γ

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