Enunciado

Water flows through a two-dimensional narrowing wedge

at 9.96 gal/min per meter of width into the paper

(Fig. P4.72). If this inward fl ow is purely radial, find an

expression, in SI units, for (a) the stream function and

(b) the velocity potential of the flow. Assume onedimensional fl ow. The included angle of the wedge is 458

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Escreva a expressão para velocidade do fluxo de entrada.

v r = - Q A

Aqui, Q é a taxa de fluxo e A é a área.

v r   = - Q π 4 r b   = - 4 Q π b r

Aqui, r é o raio e b é a largura.

v r   = - ( 9.96 g a l / m i n ) × 6.309 × 10 - 5   m 3 / s / g p m π 4 × r × 1   = - 0.0008   m 3 / s ⋅ m r

Passo 2

(a) Escreva a expressão para velocidade radial em termos de função de fluxo.

v r = 1 r ∂ ψ ∂ θ

Aqui, ψ é uma função de fluxo.

- 0.0008   m 3 / s ⋅ m r = 1 r ∂ ψ ∂ θ   - 0.0008 d θ = d ψ ψ = - 0.0008 θ

Portanto, a função de fluxo necessária é - 0.0008 θ .

Passo 3

(b) Escreva a expressão para velocidade radial em termos de potencial de velocidade.

v r = ∂ ϕ ∂ r

Aqui, ϕ está o potencial de velocidade.

- 0.0008   m 3 / s ⋅ m r = ∂ ϕ ∂ r   - 0.0008 d r r = d ϕ ϕ = - 0.0008 l n ⁡ ( r )

Portanto, a velocidade necessária potencial é - 0.0008 l n ⁡ ( r ) .

Resposta

a) ψ = - 0.0008 θ

b) ϕ = - 0.0008 l n ⁡ ( r )

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