Enunciado

10.7. As três bolas da Figura Q10.7, todas de mesma massa, são arremessadas com a mesma rapidez e da mesma altura acima do solo. Ordene em sequência decrescente, os módulos v a ,   v b   e   v c das velocidades das bolas ao atingirem o solo. Explique.

Passo 1

Bom, vamos supor que não tem nenhum atrito agindo sobre a bola.

O caso da “Bola a” vai ser arremessada para cima com uma velocidade v , em algum momento a gravidade vai fazer a bola parar, voltar, passar pelo ponto onde ela foi arremessada, e continuar descendo até atingir o solo. A gente pode descrever esse movimento com conservação de energia. A gente sabe que a velocidade inicial é v , a velocidade final é v a , a altura inicial é h , a altura final é 0 , e a bola tem massa m .

U i + k i = U f + k f

m g h + 1 2 m v 2 = m g 0 + 1 2 m v a 2

A gente pode cortar a massa

g h + 1 2 v 2 = 1 2 v a 2

Então

v a = v 2 + 2 g h

Passo 2

Agora vamos ver o caso da “Bola b”. Essa bola é lançada diretamente para baixo, com as mesmas condições iniciais da “Bola a”. Essa bola também para no chão, vamos descrever o movimento usando a equação de conservação de energia

U i + k i = U f + k f

m g h + 1 2 m v 2 = m g 0 + 1 2 m v b 2

De novo podemos cortar a massa

g h + 1 2 v 2 = 1 2 v b 2

E aí ficamos com

v b = v 2 + 2 g h

Olha só, a velocidade final da “Bola b” é igual a velocidade final da “Bola a”.

Passo 3

Agora só falta a “Bola c”. Essa bola é lançada diretamente para frente, com uma velocidade inicial v e uma altura h , exatamente igual as outras duas bolas. Ela vai cair como num lançamento oblíquo, e parar quando encostar no chão, na altura 0 . Vamos descrever esse movimento numa equação de conservação de energia.

U i + k i = U f + k f

m g h + 1 2 m v 2 = m g 0 + 1 2 m v c 2

Vamos, mais uma vez, cortar a massa

g h + 1 2 v 2 = 1 2 v c 2

E aí ficamos com

v c = v 2 + 2 g h

Então todas as velocidades são iguais!!! Não faz sentido a gente ordenar as bolas, elas estarão todas na mesma posição.

Passo 4

Antes de ir para próxima questão, vamos discutir porque todas as velocidades são iguais.

Bom, a única força agindo na bola é a força gravitacional, e a força gravitacional, e a força gravitacional é uma força conservativa, isso quer dizer que o trabalho realizado por essa força não depende do caminho escolhido, só dos pontos inicial e final.

A força gravitacional só age na vertical, pelo menos na situação da bola que acabamos de estudar, sendo assim, o trabalho só depende dos pontos final e inicial no eixo y , e todas as bolas tem esses pontos em comum, então o trabalho realizado em todas as bolas vai ser igual! Mas o que o trabalho tem a ver com a velocidade?

Aqui a gente tem que lembrar do teorema que diz que o trabalho é igual a variação da energia cinética. Todos os trabalhos são iguais, então, a variação da energia cinética de todas as bolas são iguais também. A energia cinética depende da massa e da velocidade. A massa e a velocidade inicial de todas as bolas são exatamente as mesmas, consequentemente, a velocidade final de todas as bolas tem que ser igual também.

Resposta

v a = v b = v c

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