Enunciado

10.8. As três bolas da Figura Q10.8, todas de mesma massa, são arremessadas com a mesma rapidez segundo os ângulos mostrados. Ordene em sequencia decrescente, os módulos v a , v b   e   v c de suas velocidades ao atravessarem a linha horizontal. Explique. (Todas as três são arremessadas com velocidades suficientemente grande para que alcancem a linha.)

Passo 1

vamos supor que não tem nenhum atrito agindo sobre a bola, e que a linha horizontal está no ponto h do eixo y .

O caso da “Bola a” vai ser arremessada com um ângulo de 45 ° em relação ao eixo x positivo, com uma velocidade inicial v a partir do solo, vai fazer um movimento oblíquo e em algum momento vai passar pela linha horizontal na altura h . Vamos escrever esse movimento como uma equação de conservação de energia

m g 0 + 1 2 m v 2 = m g h + 1 2 m v a 2

A gente pode cortar a massa

1 2 v 2 = g h + 1 2 v a 2

Então

v a = v 2 - 2 g h

Passo 2

Agora vamos ver o caso da “Bola b”. Essa bola é lançada com a mesmas condições iniciais que a “Bola a”, mas agora o ângulo está em 60 ° em relação ao solo. Vamos escrever a equação de conservação de energia

m g 0 + 1 2 m v 2 = m g h + 1 2 m v b 2

De novo podemos cortar a massa

1 2 v 2 = g h + 1 2 v b 2

E aí ficamos com

v b = v 2 - 2 g h

Olha só, a velocidade final da “Bola b” é igual a velocidade final da “Bola a”.

Passo 3

Agora só falta a “Bola c”. Essa bola é lançada diretamente para cima, com uma velocidade inicial v e uma altura h , exatamente igual as outras duas bolas. Vamos descrever esse movimento numa equação de conservação de energia.

m g 0 + 1 2 m v 2 = m g h + 1 2 m v c 2

Vamos, mais uma vez, cortar a massa

1 2 v 2 = g h + 1 2 v c 2

E aí ficamos com

v c = v 2 - 2 g h

Então todas as velocidades são iguais!!! Não faz sentido a gente ordenar as bolas, elas estarão todas na mesma posição.

Passo 4

Antes de ir para próxima questão, vamos discutir porque todas as velocidades são iguais.

Bom, a única força agindo na bola é a força gravitacional, e a força gravitacional, e a força gravitacional é uma força conservativa, isso quer dizer que o trabalho realizado por essa força não depende do caminho escolhido, só dos pontos inicial e final.

A força gravitacional só age na vertical, pelo menos na situação da bola que acabamos de estudar, sendo assim, o trabalho só depende dos pontos final e inicial no eixo y , e todas as bolas tem esses pontos em comum, o ponto inicial é o solo e o ponto final é a linha horizontal, na altura h , então o trabalho realizado em todas as bolas vai ser igual! Mas o que o trabalho tem a ver com a velocidade?

Aqui a gente tem que lembrar do teorema que diz que o trabalho é igual a variação da energia cinética. Todos os trabalhos são iguais, então, a variação da energia cinética de todas as bolas são iguais também. A energia cinética depende da massa e da velocidade. A massa e a velocidade inicial de todas as bolas são exatamente as mesmas, consequentemente, a velocidade final de todas as bolas tem que ser igual também.

Resposta

v a = v b = v c

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Calcule o produto escalar A → . B → se: A → = 3 i → - 4 j → e B → = - 2 i → + 6 j → A → = 2 i → + 3 j → e B → = 6 i → - 4 j →