Enunciado

11.5E Calcule a energia potencial gravitacional de quatro esferas de massa M cada, dispostas nos vértices de um quadrado de lado L .

Passo 1

Belezoca de motoca galera, esse quadrado com partículas nos vértices pode ser representado como:

E como vimos nessa seção, a energia potencial gravitacional entre duas partículas é dada pela expressão:

V 12 = - G M 1 M 2 r 12

Ou seja, a energia potencial entre a partícula 1 e a partícula 2 , depende exclusivamente da massa delas e da distância r 12 entre elas. Sendo assim a energia potencial total, vai ser a soma da energia da interação entre cada par de partículas, dessa maneira podemos calcular separadamente cada uma delas e depois somar. Bora lá!!

Passo 2

Saca só, como as massas são iguais e estamos falando de um quadrado, vamos ter dois tipos de interação gravitacional. A primeira se dá entre as partículas que estão distantes pelo lado L do quadrado, nesse caso a energia entre cada par será:

V = - G M 2 L

E como temos quatro lados no quadrado, quer dizer que teremos 4 pares de partículas interagindo com essa energia potencial, de forma que:

V = - 4 G M 2 L

Passo 3

MAAASSSS, além dessa interação, temos o segundo formato, entre as partículas que estão distantes pela diagonal do quadrado, essas partículas também interagem entre si e suas energia potenciais gravitacionais também devem ser envolvidas no cálculo. Sendo assim a diagonal desse quadrado vale:

d = 2 L

Tal que a energia potencial referente a uma interação gravitacional nessa distância é:

V = - G M 2 2 L

Racionalizando:

V = - 2 G M 2 2 L

Entretanto, temos dois pares de partículas interagindo sobre essa distância, de maneira que a energia referente a esse segundo tipo de interação é:

V = - 2 2 G M 2 2 L

V = - 2 G M 2 L

Passo 4

Portanto se a gente somar todas as energias potencias que encontramos, teremos que a energia potencial total será:

V T = - 4 G M 2 L + - 2 G M 2 L

V T = - G M 2 L ( 4 + 2 )  

Resposta

V T = - G M 2 L ( 4 + 2 )

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