Enunciado

12.30.Estação Espacial Internacional (International Sapce Station). A Estação Internacional completa 15,65 revoluções por dia em sua órbita ao redor da Terra. Supondo uma órbita circular, a que altura acima da Terra se encontra esse satélite?

Passo 1

O satélite está numa órbita circular, isso quer dizer que a força de atração da Terra é igual a força centrípeta que está agindo no satélite. Ou seja

m ω 2 R = G M m R 2

A gente quer saber a altura que o satélite está, então precisamos isolar R. A gente já pode começar cortando m .

ω 2 R = G M R 2

Agora

R 3 = G M ω 2

A gente passa a raiz cúbica em tudo e fica

R = G M ω 2 3

Agora a gente tem uma função para R, que é a altura.

Passo 2

O exercício nos dá a velocidade angular do satélite, mas no dá em revoluções por dia, e a gente precisa colocar tudo no SI, ou seja, a gente tem que passar isso para revoluções por segundo. A gente faz isso dividindo a equação por quantos segundos tem em um dia, que é 86400   s . Ou seja

15,65   r p d = 15,65 86400   r p s

Então a velocidade angular é

ω = 1,8 ⋅ 10 - 4

A massa da Terra e a constante gravitacional estão no Apêndice do livro.

Como a gente tem a equação para altura agora é só calcular

R = G M ω 2 3

R = 6,6742 ⋅ 10 - 11 ⋅ 5,97 ⋅ 10 24 1,8 ⋅ 10 - 4 2 3

Fazendo essa conta temos

R = 2,3 ⋅ 10 7   m

Mas olha só essa a distância do centro gravitacional da Terra. A gente quer a distância da superfície. Então tudo que a gente precisa fazer é subtrair o valor do raio da Terra, que a gente também acha no Apêndice, do valor da distância total.

h = 2,3 ⋅ 10 7 - 6,38 ⋅ 10 6

Então

h = 1,6 ⋅ 10 7   m

Resposta

h = 1,6 ⋅ 10 7   m

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