Enunciado

12.48. Em 2005, foi anunciada a descoberta de um grande buraco negro na galáxia Markarian 766. Esse buraco negro possuía blocos de matérias completando uma órbita a cada 27 horas e movendo-se a 30000 km/s. a) A que distância do centro do buraco negro estão esses blocos? B) Qual é a massa desse buraco negro, supondo órbitas circulares? Dê a resposta em quilogramas e como um mútiplo da massa do nosso Sol. C) Qual é o raio do horizonte de eventos desse buraco negro?

Passo 1

Vamos começar convertendo tudo para o SI.

27   h → 97200   s

30000 k m s → 3,0 ⋅ 10 7 m s

Agora vamos achar a distância desses objetos até o buraco negro. Nós sabemos o período e a velocidade. Então podemos usar

T = 2 π r v

Basta isolar a distância

r = T v 2 π

Agora é só substituir os valores

r = 97200 ⋅ 3,0 ⋅ 10 7 2 π

Isso vai dar

r = 4,64 ⋅ 10 11   m

Passo 2

No item (b) temos que achar a massa do buraco negro.

Como a órbita é circular, podemos igualar a força gravitacional a força centrípeta. Então

F g = F C

G M m r 2 = m v 2 r

Agora a gente pode cortar m r

G M r = v 2

E finalmente vamos isolar a massa

M = v 2 r G

Agora é só substituir os valores

M = 3,0 ⋅ 10 7 2 ⋅ 4,64 ⋅ 10 11 6,6742 ⋅ 10 - 11  

Isso vai dar

M = 6,26 ⋅ 10 36   k g

Passo 3

Agora só falta calcular o raio do horizonte de eventos, ou o raio de Schwarzchild

R S = 2 G M c 2

Só substituir os valores

R S = 2 ⋅ 6,6742 ⋅ 10 - 11 ⋅ 6,26 ⋅ 10 36   2,99 ⋅ 10 8 2

Isso vai dar

R S = 9,35 ⋅ 10 9   m

Resposta

  1. 4,64 ⋅ 10 11   m
  2. 6,26 ⋅ 10 36   k g
  3. 9,35 ⋅ 10 9   m
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