Enunciado

12.46. a) Mostre que um buraco negro atrai um objeto de massa m com uma força igual m c 2 R S 2 r 2 , onde r é a distância entre o objeto e o centro do buraco negro. B) Calcule o módulo da força gravitacional exercida por um buraco negro que possua o raio de Schwarzchild igual a 14,0 mm sobre um corpo de 5,0 kg situado a uma distância de 3000 km do buraco negro. C) Qual é a massa desse buraco negro?

Passo 1

Vamos lá, a força gravitacional é calculada assim

F g = G M m r 2

Agora a gente pode mexer um pouco na massa do buraco negro. O raio de Schwarzchild a gente calcula assim

R S = 2 G M c 2

Vamos isolar a massa do buraco negro

M = R S c 2 2 G

Agora a gente substitui isso na primeira equação

F g = G m r 2 R S c 2 2 G

Com um pouquinho de álgebra, corta uma coisa aqui outra ali a gente chega

F g = m c 2 R S 2 r 2

Exatamente como queríamos demonstrar.

Passo 2

No item (b) vamos usar a equação que acabamos de deduzir. É só aplicar os dados que temos na equação, mas lembre-se de colocar tudo no SI

14   m m → 0,014   m

3000   k m → 3000000 m

F g = 5 ⋅ 2,99 ⋅ 10 8 2 0,014   2 3000000 2

Isso vai dar

F g = 347,67   N

Passo 3

Agora vamos calcular a massa desse buraco negro. Lá no primeiro passo a gente tinha encontrado uma equação para massa. Vamos recuperar

M = R S c 2 2 G

Agora só substituir os valores

M = 0,014 2,99 ⋅ 10 8 2 2 ⋅ 6,67428 ⋅ 10 - 11

Isso vai dar

M = 9,37 ⋅ 10 24   k g

Resposta

b) F g = 347,67   N

c)

M = 9,37 ⋅ 10 24   k g

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