Enunciado

12.58. a) Os asteroides possuem densidades da ordem de 2500 k g m 3   e raios variando de 470 km até menos do que um quilometro. Supondo que o asteroide possua uma distribuição de massa esférica, estime o raio do maior asteroide do qual você poderia escapar simplesmente pulando da superfície dele. (Sugestão: Você pode estimar a velocidade máxima do seu pulo relacionando-a à altura máxima que você atinge quando pula na superfície terrestre.) b) Europa, uma das quatro maiores luas de Júpiter, possui um raio igual a 1570 km. A aceleração da gravidade em sua superfície é igual a 1,33 m s 2 . Calcule sua densidade média.

Passo 1

O que a gente pode fazer é usar uma aproximação para deduzir qual maior velocidade que a gente pode atingir em um pulo. Vamos supor que a maior altura do pulo de uma pessoa seja 1   m . A gente pode aproximar a velocidade usando energia

U 1 + K 1 = U 2 + K 2

Então

- m g h 1 + m v 1 2 2 = - m g h 2 + m v 2 2 2

Então temos

g = 9,81 m s 2

h 1 = 0

h 2 = 1

v 1 = 0

v 2 = v f

Então

0 = - m g + m v f 2 2

Isolando a velocidade final

v f = 2 g

Então

v f = 2 ⋅ 9,81 = 4,43 m s

Passo 2

Agora vamos descobrir o maior asteroide do qual nós poderíamos escapar. A velocidade de escape é

v e = 2 G M R

Mas a gente pode colocar a massa em função do raio, uma vez que temos a densidade dos asteroides

ρ = M V

Como vamos aproximar o asteroide para uma esfera, podemos calcular o volume

V = 4 3 π R 3

Então

ρ = 3 M 4 π R 3

Logo

M = 4 ρ π R 3 3

Substituindo na equação da velocidade de escape

v e = 2 G R 4 ρ π R 3 3

Isso vai dar

v e = 8 3 G ρ π R 2

Mas queremos descobrir o raio. Vamos isola-lo

v e = R 8 3 G ρ π

Então

R = v e 8 3 G ρ π

Agora é só substituir os valores

R = 4,43 8 3 6,6742 ⋅ 10 - 11 2500 π = 3746,92   m

Ou seja

R = 3,75   k m

Esse é o raio máximo.

Passo 3

Agora vamos para o item (b). Queremos descobrir a densidade média da lua Europa e temos o raio e a aceleração da gravidade na superfície.

Bem a aceleração na superfície pode ser calculada assim

g = G M R 2

E a como no item anterior, a gente pode aproximar a lua de uma esfera e colocar a massa em função do raio e da densidade

M = ρ V

M = ρ 4 3 π R 3

Então

g = G R 2 ρ 4 3 π R 3

Isso vai dar

g = 4 3 G ρ π R

Agora é só isolar a densidade

ρ = 3 g 4 G π R

E finalmente é só substituir os valores

ρ = 3 1,33 4 π 6,6742 ⋅ 10 - 11 1570000

Isso vai dar

ρ = 3,03 ⋅ 10 4 k g m 3

Resposta

  1. R = 3,75   k m

ρ = 3,03 ⋅ 10 4 k g m 3

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