Enunciado

1.93b Um cubo é colocado de modo que um dos seus vértices esteja na origem e três arestas coincidam com os eixos x , y e z de um sistema de coordenadas (Figura 1.43). Use vetores para calcular b) o ângulo entre a linha ac (a diagonal de uma das faces) e a linha ad.

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos diz que um cubo é colocado de modo que um dos seus vértices esteja na origem e três arestas coincidam com os eixos x , y e z de um sistema de coordenadas da seguinte forma:

Bom... pelo que colocamos na letra a), as arestas do cubo têm módulo igual a 1 .

Nessa questão queremos saber o ângulo entre a linha ( A C ) que vamos chamar de A → e está definida nos eixos y e z positivos, e a linha ( A D ), que vamos chamar de B → e está definida em todos os eixos positivos.

E aí?? Bora lá?? 😉

Passo 2

Primeiro temos que saber os módulos de A → e de B → .

Começando por A → , aplicando os vetores unitários, temos:

A =   j ^ 2 + k ^ 2 ∴

A = 1 2 + 1 2 ∴

A = 2

Agora B → , aplicando os vetores unitários, temos:

B =   i ^ 2 + j ^ 2 + k ^ 2 ∴

B = 1 2 + 1 2 + 1 2 ∴

B = 3

Passo 3

O próximo passo é usar a equação 1.27 para encontrar o produto escalar entre A → e B → . Só vamo:

A → ⋅ B → = A x B x + A y B y + A z B z ∴

A → ⋅ B → = 0 1 + 1 1 + 1 1 ∴

A → ⋅ B → = 2

Passo 4

Agora é só substituir esse resultado na equação 1.18 pra encontrarmos o ângulo:

A → ⋅ B → = A B c o s φ ∴

2 = 2 3 c o s φ ∴

c o s φ = 2 2 3 ∴

E é só fazer aquele arco-cosseno maroto:

a r c c o s s 2 2 3 = 35,3 °  

Achamos o ângulo!! 😉

Resposta

35,3 °

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