Enunciado

O U 238 decai para P b 2 06 com uma meia-vida de 4,47 ⋅ 10 9   a n o s . Embora o decaimento ocorra em várias etapas, a meia-vida da primeira etapa é muito maior do que a das etapas subsequentes; assim, podemos supor que o decaimento leva diretamente ao chumbo e escrever:

U 238 → P b 206 + p r o d u t o s   d o s   d e c a i m e n t o s

Uma rocha contém 4,20   m g de U 238 e 2,135   m g de P b 2 06 . Estudos geológicos revelam que a rocha provavelmente não continha chumbo na época em que se formou, de modo que todo o chumbo presente pode ser atribuído ao decaimento do urânio. Quantos átomos de (a) U 238 e (b) P b 2 06 contém a rocha? (c) Quantos átomos de U 238 a rocha continha na época em que se formou? (d) Qual é a idade da rocha?

Passo 1

Os dois primeiros itens são bem simples: basta achar o número de átomos contidos nas massas dadas. Para isso, basta dividir pela massa molar e multiplicar pelo número de Avogadro:

N = m M ⋅ N A

Assim, para o urânio:

N U = 4,20 ⋅ 10 - 3 238 ⋅ 6,02 ⋅ 10 23 = 1,06 ⋅ 10 19

Já para o chumbo:

N P b = 2,135 ⋅ 10 - 3 206 ⋅ 6,02 ⋅ 10 23 = 6,24 ⋅ 10 18

Passo 2

Inicialmente não tinham átomos de chumbo, apenas átomos de urânio. Desse total de átomos inicial, 6,24 ⋅ 10 18 decaíram em chumbo enquanto 1,06 ⋅ 10 19 não decaíram e permaneceram como urânio. Assim, a quantidade inicial de átomos de urânio é

N 0 = N U + N P b = 1,06 ⋅ 10 19 + 0,624 ⋅ 10 19 = 1,68 ⋅ 10 19

Para achar a idade da rocha:

N U = N 0   e - λ t ⇒ e λ t = N 0 N U ⇒ t = 1 λ ln ⁡ N 0 N U = T ln ⁡ 2 ⋅ ln ⁡ N 0 N U

Portanto,

t = 4,47 ⋅ 10 9   a n o s ln ⁡ 2 ⋅ ln ⁡ 1,68 ⋅ 10 19 1,06 ⋅ 10 19

Logo,

t = 2,97 ⋅ 10 9   a n o s

Resposta

1,06 ⋅ 10 19

6,24 ⋅ 10 18

1,68 ⋅ 10 19

2,97 ⋅ 10 9   a n o s

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