Enunciado

Física - Halliday - Vol 4 - Capítulo 42.6 - Ex. 64

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O isótopo K 40 pode se transformar em C a 40 ou em A r 40 ; suponha que nos dois casos a meia-vida é 1,26 ⋅ 10 9   a n o s . A razão entre o número de átomos de C a produzidos e o número de átomos de A r produzidos é 8,54 . Uma amostra, que continha inicialmente apenas K 40 , agora contém quantidades iguais de K 40 e A r 40 . Qual é a idade da amostra?

Passo 1

Neste problema temos átomos de K 40 que decaem em C a 40 ou A r 40 . Consideremos que inicialmente existiam apenas N 0 átomos de potássio. Agora, temos N K átomos de potássio, N C a de cálcio e N A r de argônio, com

N 0 = N K + N C a + N A r

Como a meia-vida dos dois decaimentos são iguais, temos que

N K = N 0 e - λ t ⇒ λ t = ln ⁡ N 0 N K ⇒ t = T ln ⁡ 2 ⋅ ln ⁡ N K + N C a + N A r N K

É importanto frisar que só podemos fazer isso pois os dois decaimentos tem a mesma meia-vida!

Passo 2

Dos dados do enunciado, temos que

N C a N A r = 8,54           e             N K = N A r

Portanto,

N C a = 8,54   N A r = 8,54   N K

Assim,

t = T ln ⁡ 2 ⋅ ln ⁡ N K + 8,54 ⋅ N K + N K N K

Logo,

t = 1,26 ⋅ 10 9   a n o s ln ⁡ 2 ⋅ ln ⁡ 10,54 = 4,28 ⋅ 10 9   a n o s

Resposta

4,28 ⋅ 10 9   a n o s

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