Enunciado

25. Diga isso ao juiz. a ) Qual deve ser a velocidade com a qual você tem de se aproximar de u sinal de trânsito vermelho ( λ = 675   n m ) para que ele aparente uma cor amarela ( 575   n m ) ? Expresse sua resposta em termos da velocidade da luz. b ) Se você usou isso como desculpa para não pagar a multa pelo avanço do sinal vermelho, quanto você teria de pagar de multa pelo excesso de velocidade? Suponha que seja cobrada uma multa de R $   1,00 (um real) para cada k m / h de excesso de velocidade acima da velocidade permitida de 90   k m / h .

Passo 1

Como podemos ver temos um efeito Doppler onde a fonte e o observador estão se aproximando.

Sabendo disso, podemos usar a equação 37.25 , que relaciona a frequência observada com a frequência observada no caso da fonte e do observador se aproximando, temos:

f 2 = c + u c - u f 0 2

Onde f 0 é a frequência emitida pela fonte, f é a observável, c é a velocidade da fonte, que no caso como é uma onda eletromagnética vai ser a velocidade da luz, u é a velocidade do observador.

É nesse u que estamos interessados, é ele que queremos.

Mas o enunciado não nos deu a frequência emitida e observada, mas sim os comprimentos de onda, mas não crie pânico é só lembrarmos que:

f = c λ

Fechou, agora é só isolar o u e encontrar seu valor.

Depois disso para achar o valor da multa é só ver o quão a mais a nossa velocidade passou do limite e multiplicar por R $   1,00

Passo 2

Vamos começar calculando o valor de f e f 0 , vemos nesse objetivo primeiro, temos:

f = c λ

Encontrando f 0 , temos:

f 0 = c λ 0

= 3 ⋅ 10 8   m / s 675 ⋅ 10 - 9 m

⇒ f 0 = 4,44 ⋅ 10 20   H z

Encontrando f , temos:

f = c λ

= 3 ⋅ 10 8   m / s 5 75 ⋅ 10 - 9 m

⇒ f = 5,22 ⋅ 10 20   H z

Passo 3

Agora podemos isolar u na equação que mostrei no passo 1 , temos:

f 2 = c + u c - u f 0 2

⇒ c - u f 2 = c + u f 0 2

⇒ u f 0 2 + u f 2 = c f 2 - c f 0 2

Então:

f 0 2 + f 2 u = f 2 - f 0 2 c

Então finalmente ficamos com:

u = f 2 - f 0 2 f 0 2 + f 2 c

Passo 4

Agora vamos substituir os valores que nós temos na expressão que chegamos no passo anterior, temos:

u = 5,22 ⋅ 10 20 2 - 4,44 ⋅ 10 20 2 4,44 ⋅ 10 20 2 + 5,22 ⋅ 10 20 2 ( 3 ⋅ 10 8 )

= 7,5348 ⋅ 10 40 46,962 ⋅ 10 40 ( 3 ⋅ 10 8 )

= 0,16 ( 3 ⋅ 10 8 )

Então temos que:

u = 0,48 ⋅ 10 8   m / s

Passo 5

Agora para encontrarmos o valor da multa precisamos que a nossa velocidade esteja em k m / h , para fazer essa conversão, basta multiplicar nosso resultado por 3,6   k m ⋅ s / m ⋅ h , assim ficamos com:

u = ( 0,48 ⋅ 10 8   m / s ) ( 3,6   k m ⋅ s / m ⋅ h )

⇒ u = 1,73 ⋅ 10 8   k m / h

Agora só fazer essa diferença com 90   k m / h para saber o quão a mais nós ultrapassamos e depois multiplicar por R $   1,00 , assim:

v = 1,73 ⋅ 10 8 - 90 = 172999910   k m / h

Então a nossa multa será de R $   172.999.910 ,   00 .

Vou falar para vocês que eu prefiro pagar a multa por avançar o sinal, deve ser muito mais barata kkk.

Resposta

a

u = 0,48 ⋅ 10 8   m / s

( b )

R $   172.999.910 ,   00

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