Enunciado

35. Um trenó de madeira é puxado para cima, por uma corda, sobre a lateral de uma colina com 20 ° de inclinação e coberta de neve. Um caixote de madeira de 10   k g encontra-se sobre o trenó. Se a tensão na corda aumentar constantemente, para que valor de tensão o caixote

começará a escorregar?

Passo 1

Então pessoal a base que precisamos para resolver esse problema é a segunda e a terceira lei de Newton, mas para sabermos como usá-las bem, vamos montar um diagrama de corpo livre para o caixote e para o trenó onde teremos nosso eixo x paralelo a colina e o eixo y perpendicular, temos o seguinte:

Agora vamos analisar a nossa situação junto com o diagrama para ver os pares de ação e reação que temos presentes.

Temos que a força de atrito f t c (força de atrito que o trenó faz em na caixa) forma um par com a força f c t (força de atrito que a caixa faz no trenó), além desse par temos referente a normal do caixote ( n c ) causada pelo contato com o trenó, logo teremos uma reação igual e de sentido contrário no trenó, como mostra o diagrama.

Para encontrarmos a maior tensão para que o caixote começa a escorregar, temos que saber a máxima aceleração que o caixote consegue chegar considerando a força de atrito estático máximo entre ele o trenó.

Como você pode ver teremos que usar a força de atrito, para isso precisamos dos coeficientes de atrito estático entre o caixote e o trenó (madeira com madeira) e o coeficiente de atrito cinético entre o trenó e a neve (madeira com neve).

Segundo a tabela 6.1 do livro temos que que o coeficiente de atrito estático de madeira com madeira é 0,5 e o atrito cinético de madeira sobre neve é 0,06 .

E podemos encontrar essa aceleração através da segunda lei de Newton para analisar as forças do caixote, tendo essa aceleração podemos usar também a segunda lei para analisar o trenó e encontrar a tensão que temos para essa máxima aceleração.

Infelizmente nosso enunciado está faltando informação referente a massa do trenó, que deve ter se perdido devido a tradução, mas para manter ele com igual a versão original vamos usar a massa do trenó igual a 20   k g .

Passo 2

Primeiro vamos analisar o bloco 1 na direção y , temos o seguinte:

n c - F G c cos ⁡ 20 ° = 0

⇒ n c - m c g cos ⁡ 20 ° = 0

⇒ n c = m c g cos ⁡ 20 °

Agora vamos analisar o caixote na direção x , temos:

f t c - F G c sen ⁡ 20 ° = m c a

Usando a expressão da força de atrito temos:

μ e n c - m c g sen ⁡ 20 ° = m c a

Agora usando que encontramos para n c e isolando a , temos:

μ e m c g cos ⁡ 20 ° - m c g sen ⁡ 20 ° = m c a

a = μ e g cos ⁡ 20 ° - g sen ⁡ 20 °

Agora substituindo os valores que conhecemos, temos:

a = ( 0,5 ) ( 9,8 ) cos ⁡ 20 ° - ( 9,8 ) sen ⁡ 20 °

= 4,60 - 3,35

Então temos que:

a = 1,25   m / s 2

Pronto, encontramos a aceleração que precisávamos.

Passo 3

Agora vamos analisar o trenó, vamos começar com a direção y , temos:

n t - n c - F G t cos ⁡ 20 ° = 0

n t = n c + m t g cos ⁡ 20 °

Usando a expressão que temos para n c temos:

n t = m c g cos ⁡ 20 ° + m t g cos ⁡ 20 °

Substituindo os valores que conhecemos, temos:

n t = ( 10 ) ( 9,8 ) cos ⁡ 20 ° + ( 20 ) ( 9,8 ) cos ⁡ 20 °

= 92,1 + 184,17

Então temos:

n t = 276,27

Agora vamos analisar o trenó na direção x , temos o seguinte:

T - F G t sen ⁡ 20 ° - f t - f c t = m t a

⇒ T - m t g sen ⁡ 20 ° - f t - f c t = m t a

Usando a expressão da força de atrito temos:

T - m t g sen ⁡ 20 ° - μ c n t - μ e n c = m t a

Substituindo as expressões que temos para n t e n c , temos:

T - m t g sen ⁡ 20 ° - μ c 276,27 - μ e m c g cos ⁡ 20 ° = m t a

Agora vamos isolar T e substituir os valores que temos, assim:

T = m t a + m t g sen ⁡ 20 ° + μ c 276,27 + μ e m c g cos ⁡ 20 °

⇒ T = 20 1,25 + 20 9,8 sen ⁡ 20 ° + 0,06 276,27 + 0,5 10 9,8 cos ⁡ 20 °

= 25 + 67,03 + 16,58 + 46,04

Assim temos que:

T = 154,65   N

Resposta

T = 154,65   N

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