Enunciado

38.48. Sirius B. A estrela mais brilhante no céu é Sirius, que é, na verdade, um sistema binário de duas estrelas. A maior delas (Sirius B) é uma anã branca. A análise espectral de Sirius B indica que sua temperatura de superfície é 24000 K e que ela irradia energia a uma taxa total de 1,0 ⋅ 10 25   W . Suponha que Sirius B como um corpo negro ideal. A) Qual é a intensidade total irradiada por Sirius B? b) Qual é o comprimento de onda na intensidade máxima? Esse comprimento de onda é visível para os seres humanos? c) Qual é o raio de Sirius B? Expresse a sua resposta em quilômetros e como uma fração do raio do nosso Sol. D) Que estrela irradia mais energia total por segundo, a quente Sirius B ou o (relativamente) frio Sol, com uma temperatura de superfície igual a 5800 K? Para descobrir, calcule a razão entre a potência total irradiada pelo nosso Sol e a potência irradiada por Sirius B.

Passo 1

Vamos precisar usar a lei de Stefan-Boltzmann nesse exercício.

I = σ T 4

Podemos usar essa equação porque Sirius B se comporta como um corpo negro.

Bom, basta substituir os valores para responder o item (a)

I = 5,67 ⋅ 10 - 8 24000 4  

Isso vai dar

I = 1,9 ⋅ 10 10 W m 2

Passo 2

Agora vamos para o item (b). Calcular o comprimento de onda. Vamos usar a lei do deslocamento de Wien.

λ m T = 2,90 ⋅ 10 - 3     m ⋅ K

Bom, precisamos descobrir o comprimento de onda e o enunciado nos dá a temperatura, então

λ m = 2,90 ⋅ 10 - 3 24000 = 1,2 ⋅ 10 - 7   m

Ou

λ m = 120   n m

O menor comprimento de onda visível é aproximadamente 400   n m . Então esse comprimento está com certeza abaixo do comprimento visível.

Passo 3

Agora no item (c) temos que calcular o raio da estrela. Para isso podemos usar a equação

P = A I

O enunciado nos da a energia total, e nós calculamos a intensidade total irradiada. Então podemos reescrever

A = P I

Mas se aproximarmos a estrela para uma esfera, temos

4 π R 2 = P I

Então o raio é:

R = P 4 π I

Substituindo os valores

R = 1,0 ⋅ 10 25 4 π 1,9 ⋅ 10 10

Isso vai dar

R = 6,51 ⋅ 10 6   m

Mas o exercício pede para gente expressar a resposta em quilômetros e em uma fração do raio do Sol. Então

R = 6510   k m

Bom, de acordo com o apêndice do livro, o raio do sol é

R S = 6,96 ⋅ 10 9   m

Então

R R S = 6,51 ⋅ 10 6 6,96 ⋅ 10 9 = 0,0093 ≈ 1 100

Então

R = R S 100

Passo 4

Agora vamos ver qual estrela irradia mais energia total por segundo, o Sol ou a Sirius B. Vamos usar a lei de Stefan-Boltzmann.

P = σ A T 4

Bom, vamos fazer o que o exercício pede e calcular a razão entre as duas estrelas

P S o l P s i = σ A S o l T s o l 4 σ A s i T s i 4

Bom, sabemos que se essa fração for > 1 , a energia total irradiada por segundo do Sol é a maior que a de Sirius B, caso contrário, a de Sirius B é maior.

Vamos começar cortando σ

P S o l P s i = A S o l T s o l 4 A s i T s i 4

Agora vamos escrever a área em função do raio.

P S o l P s i = 4 π R S o l 2 T s o l 4 4 π R s i 2 T s i 4

Agora a gente pode cortar 4 π também

P S o l P s i = R s o l R s i T s o l T s i 2 2

Bom, a gente já calculou a razão entre o raio de Sirius B e o raio do Sol no item anterior. O valor da temperatura das duas estrelas está no exercício, então

P S o l P s i = 100 5800 24000 2 2

E isso vai dar

P S o l P s i = 39

Então o Sol irradia mais energia total por segundo.

Resposta

  1. 1,9 ⋅ 10 10 W m 2
  2. 120   n m
  3. 6510   k m ; P = P S o l 100
  4. P S o l P s i = 39
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