Enunciado

41. Um feixe de elétrons é acelerado a partir do repouso e passa por um par de fendas estreitas idênticas dispostas com uma distância de 1,25   n m entre si. Você observa que a primeira franja escura da interferência de dupla fenda ocorre a ± 18,0 ° da direção original

do feixe quando observada em uma tela distante. a ) Esses elétrons são relativísticos? Como você sabe disso? b ) Que diferença de potencial foi usada para acelerar esses elétrons?

Passo 1

Para resolver esse problema pessoal, teremos que usar nossos conhecimentos de óptica, lembrando da difração por fenda dupla.

Mas por quê?

Porque o elétron nesse caso apresenta comportamento ondulatório sofrendo difração. Lembrando que para fenda dupla temos a seguinte equação que fornece os ângulos onde ocorre as franjas escuras:

d sen ⁡ θ = m λ 2

Onde d é a distância entre as fendas. Para o caso do item ( a ) vamos usar m = 1 , já que no enunciado nos é fornecido o ângulo da primeira fenda escura.

Com essa equação usando θ = 18 ° , já que é o único que conhecemos, podemos isolar λ e parti dele achar a velocidade do elétron usando a fórmula do comprimento de onda de De Broglie, dada por:

λ = h p

Onde p = m v , assim:

λ = h m v

Lembrando que o m que aparece aqui é de massa.

Então é só isolar a velocidade e calcular o seu valor e comparar com a velocidade da luz, com isso concluímos o item ( a ) .

Agora para encontrar a diferença de potencial usada para acelerar esses elétrons, vamos usar o teorema do trabalho, que nos diz:

W = Δ K

Onde o trabalho realizado sobre o elétron é dado por:

W = e Δ V

Onde e é a carga do elétron e Δ V é a diferença de potencial. Nesse caso como os elétrons são acelerados do repouso só temos energia cinética final, assim:

e Δ V = m v 2 2

⇒ Δ V = m v 2 2 e

Passo 2

Vamos encontrar λ então, pessoal. Temos o seguinte:

d sen ⁡ θ = m λ 2

⇒ λ = 2 d sen ⁡ θ m

Sabemos que a = 1 , 2 5   n m = 1 , 2 5 ⋅ 10 - 9   m e que m = 1 e θ = 18 ° , então temos que:

λ = 2 ( 1,25 ⋅ 10 - 9 ) sen ⁡ ( 18 ° ) 1

⇒ λ = 0,773 ⋅ 10 - 9   m

Passo 3

Agora podemos encontrar a velocidade a parti de

λ = h m v

Isolando v , temos:

v = h m λ

Lembrado que a massa do elétron é m = 9,109 ⋅ 10 - 31   k g e que h = 6,626 ⋅ 10 - 34   J ⋅ s , assim:

v = 6,626 ⋅ 10 - 34 ( 9,109 ⋅ 10 - 31 ) ( 0,773 ⋅ 10 - 9 )

⇒ v = 6,626 ⋅ 10 - 34 7,041 ⋅ 10 - 40

Então temos que:

v = 9,41 ⋅ 10 5   m / s

Se compararmos essa velocidade com a da luz ( 3 ⋅ 10 8   m / s ) vemos o seguinte:

9,41 ⋅ 10 5 3 ⋅ 10 8 = 0,003

Então essa velocidade que encontramos equivale a 0,3 % da velocidade da luz, logo não temos elétrons relativísticos aqui.

Passo 4

Agora vamos encontrar a diferença de potencial, temos que:

Δ V = m v 2 2 e

Lembrando que a carga do elétron e vale 1,6 ⋅ 10 - 19   C , assim:

Δ V = ( 9,109 ⋅ 10 - 31 ) ( 9,41 ⋅ 10 5 ) 2 2 ( 1,6 ⋅ 10 - 19 )

⇒ Δ V = 8,07 ⋅ 10 - 19 3,2 ⋅ 10 - 19

Então temos que:

Δ V = 2,52   V

Resposta

( a )

Não, pois sua velocidade equivale a 0,3 % da velocidade da luz.

( b )

Δ V = 2,52   V

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