Enunciado

40. Elétrons passam por uma fenda única de 150   n m de largura e atingem uma tela a 24,0   c m de distância. Você descobre que nenhum elétron atinge a tela com um ângulo de ± 20,0 ° a partir do centro da figura de difração, mas que elétrons atingem todos os pontos próximos ao centro. a ) Com que velocidade esses elétrons estavam se deslocando quando passaram pela fenda? b ) Quais são os próximos ângulos maiores em que nenhum elétron atinge a tela?

Passo 1

Para resolver esse problema pessoal, teremos que usar nossos conhecimentos de óptica, lembrando da difração por fenda única.

Mas por quê?

Porque o elétron nesse caso apresenta comportamento ondulatório sofrendo difração. Lembrando que para fenda única temos a seguinte equação:

a sen ⁡ θ = m λ

Onde a é a largura da fenda. Para o caso do item ( a ) vamos usar m = 1 , já que no enunciado ele fala que os elétrons se mantem próximos ao centro, que não chegam a ± 20 ° .

Com essa equação usando θ = 20 ° , já que é o único que conhecemos, podemos isolar λ e parti dele achar a velocidade do elétron usando a fórmula do comprimento de onda de De Broglie, dada por:

λ = h p

Onde p = m v , assim:

λ = h m v

Lembrando que o m que aparece aqui é de massa.

Então é só isolar a velocidade e calcular o seu valor e com isso concluímos o item ( a ) .

Agora para o item ( b ) , vamos pegar aquela primeira equação lá de cima e vamos encontrar θ usando m = 2 , pois o enunciado quer o ângulo seguinte que não temos elétron nenhum, então a ordem de m não pode se manter a mesma se não cairíamos em uma redundância, já que vamos usar o valor de λ que acharemos em ( a ) .

Passo 2

Vamos encontrar λ então, pessoal. Temos o seguinte:

a sen ⁡ θ = m λ

⇒ λ = a sen ⁡ θ m

Sabemos que a = 150   n m = 150 ⋅ 10 - 9   m e que m = 1 e θ = 20 ° , então temos que:

λ = ( 150 ⋅ 10 - 9 ) sen ⁡ ( 20 ° ) 1

⇒ λ = 5,13 ⋅ 10 - 8   m

Passo 3

Agora podemos encontrar a velocidade a parti de

λ = h m v

Isolando v , temos:

v = h m λ

Lembrado que a massa do elétron é m = 9,109 ⋅ 10 - 31   k g e que h = 6,626 ⋅ 10 - 34   J ⋅ s , assim:

v = 6,626 ⋅ 10 - 34 ( 9,109 ⋅ 10 - 31 ) ( 5,13 ⋅ 10 - 8 )

⇒ v = 6,626 ⋅ 10 - 34 46,73 ⋅ 10 - 39

Então temos que:

v = 1,42 ⋅ 10 4   m / s

Passo 4

Agora vamos encontrar o ângulo pedido em ( b ) , temos o seguinte:

a sen ⁡ θ = m λ

⇒ sen ⁡ θ = ± m λ a

Esses sinais de mais e menos é pelo fato de que esse ângulo pode ser tanto de um lado da linha central quanto do outro. Continuando:

⇒ θ = ± arcsen ⁡ m λ a

Só que agora teremos m = 1 e λ = 5,13 ⋅ 10 - 8 , então temos que:

θ = ± arcsen ⁡ 2 ( 5,13 ⋅ 10 - 8 ) 150 ⋅ 10 - 9

⇒ θ = ± arcsen ⁡ 10,26 ⋅ 10 - 8 150 ⋅ 10 - 9

⇒ θ = ± arcsen ⁡ 0,684

Então temos que:

θ = ± 43,16 °

Resposta

( a )

v = 1,42 ⋅ 10 4   m / s

( b )

θ = ± 43,16 °

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