Enunciado

47. Uma partícula de massa m e energia total E tunela através de uma barreira de potencial quadrado com altura U 0 e largura L . Quando o coeficiente de transmissão não é muito menor do que 1 , ele é dado por

T = 1 + U 0 senh ⁡ κ L 2 4 E ( U 0 - E ) - 1

onde o seno hiperbólico de κ L é definido pela relação senh ⁡ L = ( e κ L - e - κ L ) / 2 . a ) Mostre que, quando κ L ≫ 1 , a expressão de T tende ao resultado indicado Equação ( 40.21 ) . b ) Explique por que a restrição do item ( a ) , κ L ≫ 1 , implica ou que a barreira é relativamente larga ou que a energia E é relativamente pequena em comparação com U 0 . c ) Mostre que a energia cinética incidente E da partícula tende a se igualar à altura da barreira U 0 quando T tende a 1 + k L / 2 2 - 1 , onde k = 2 m E / ℏ é o número de onda da partícula incidente. (Sugestão: quando z ≪ 1 , senh ⁡ z ≈ z .)

Passo 1

Vamos lá galera, então o item ( a ) não tem mistério, vamos ter uqe pegar a expressão que o enunciado nos deu e ir manipulando ela com a condição que nos foi dada, κ L ≫ 1 , então vamos ficar brincando com ela até chegar na equação 40.21 , dada por:

T = 16 E U 0 1 - E U 0 e - 2 κ L

Bem, para responder o item ( b ) , temos que ficar ligados de como κ pode ser expresso, ele é dado por:

κ = 2 m U 0 - E ℏ

Deixa esse cara quietinho por agora que depois vamos desenvolver o pensamento sobre esse item depois.

Para o item ( c ) vamos ter que usar a expressão de T dada pelo enunciado mais uma vez, mas agora usando a aproximação mostrada na sugestão do exercício e com isso ir brincando com essa expressão e também vamos usar a definição de κ que mostrei acima.

Vamos lá então!

Passo 2

Vamos começar a mexer com T , inicialmente temos:

T = 1 + U 0 senh ⁡ κ L 2 4 E ( U 0 - E ) - 1

Agora vamos usara definição de seno hiperbólico para κ L (no enunciado faltou κ no senh ⁡ L ), temos que:

senh ⁡ κ L = e κ L - e - κ L 2

Agora, você concorda comigo que para um κ L ≫ 1 a exponencial e - κ L fica muito pequena, já que:

e - κ L = 1 e κ L

Então quando κ L ≫ 1 , temos que:

1 e κ L ≈ 0

Então no final temos que:

senh ⁡ κ L = e κ L 2

Então nossa expressão para T , fica assim:

T = 1 + U 0 ( e κ L / 2 ) 2 4 E ( U 0 - E ) - 1

⇒ T = 1 + U 0 2 e 2 κ L 16 E ( U 0 - E ) - 1

= 16 E U 0 - E + U 0 2 e 2 κ L 16 E U 0 - E - 1

Logo:

T = 16 E U 0 - E 16 E U 0 - E + U 0 2 e 2 κ L

Agora vamos prestar atenção no denominador para a situação que κ L ≫ 1 , o termo U 0 2 e 2 κ L fica muito maior que 16 E U 0 - E , então podemos desprezar esse último assim:

T = 16 E U 0 - E U 0 2 e 2 κ L

⇒ T = 16 E U 0 U 0 2 e 2 κ L - 16 E 2 U 0 2 e 2 κ L

= 16 E U 0 e 2 κ L - 16 E 2 U 0 2 e 2 κ L

Isolando ( 16 E / U 0 ) e - 2 κ L , temos:

T = 16 E U 0 e - 2 κ L 1 - E U 0

⇒ T = 16 E U 0 1 - E U 0 e - 2 κ L

Pronto, chegamos onde o enunciado queria.

Passo 3

Agora vamos pensar sobre o item ( b ) .

Quando temos κ L ≫ 1 , temos duas possibilidades para que isso seja verdade, outemos um L muito grande, daí vem o fato de a barreira ser muito longa ou temos que κ é muito grande, mas temos que:

κ = 2 m U 0 - E ℏ

Sabendo que m e são constantes, a única possibilidade de κ ser muito grande é de E ser muito pequeno comparado a U 0 .

Passo 4

Vamos brincar com o item ( c ) agora.

De novo vamos mexer na expressão de T nada no enunciado, só que agora com a aproximação senh ⁡ z ≈ z , então temos o seguinte:

T = 1 + U 0 senh ⁡ κ L 2 4 E ( U 0 - E ) - 1

Segundo a aproximação temos que senh ⁡ κ L = κ L , logo:

T = 1 + U 0 κ L 2 4 E ( U 0 - E ) - 1

= 1 + U 0 2 κ 2 L 2 4 E ( U 0 - E ) - 1

Usando a definição de κ , temos que:

κ 2 = 2 m U 0 - E ℏ 2

Substituindo isso na nossa expressão temos que:

T = 1 + U 0 2 2 m U 0 - E ℏ 2 L 2 4 E ( U 0 - E ) - 1

= 1 + U 0 2 2 m U 0 - E L 2 ℏ 2 4 E ( U 0 - E ) - 1

Simplificando, temos que:

T = 1 + U 0 2 2 m L 2 ℏ 2 4 E - 1

Usando o fato de que queremos E → U 0 , temos que:

T = 1 + E 2 2 m L 2 ℏ 2 4 E - 1

= 1 + E 2 m L 2 ℏ 2 4 - 1

O enunciado nos fala que:

k = 2 m E ℏ

Então

k 2 = 2 m E ℏ 2

Então nossa expressão para T fica assim:

T = 1 + k 2 L 2 4 - 1

Ou melhor

T = 1 + k L 2 2 - 1

Então quando T tende a esse valor temos que E e U 0 tende a ser iguais.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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