Enunciado

49. a ) Uma partícula de massa m possui energia cinética igual a três vezes sua energia de repouso. Qual é o comprimento de onda de De Broglie dessa partícula? (Sugestão: você deve usar a expressão relativística para a energia cinética: E 2 = p c 2 + m c 2 2 e K = E - m c 2 .) b ) Determine o valor numérico da energia cinética (em M e V ) e do comprimento de onda (em metros), sabendo que a partícula do item ( a ) é i ) um elétron; i i ) um próton.

Passo 1

Para esse problema vamos combinar as equações que o enunciado sugeriu e ir mexendo nelas até acharmos uma expressão para λ .

E para o item ( b ) podemos encontrar a energia cinética com a informação do enunciado que é:

K = 3 m c 2

E o comprimento de onda através da expressão encontrada no item ( a ) , a diferença do próton e do elétron é a apenas a massa deles onde a massa do elétron é m e = 9,109 ⋅ 10 - 34   k g e a massa do próton é m p = 1,672 ⋅ 10 - 27   k g .

Passo 2

Vamos começar a brincar com as equações, temos:

E 2 = p c 2 + m c 2 2

Vamos começar a isolar o momento, pois podemos tirar o comprimento de onda dele, já que:

λ = h p

Então temos que:

p c = E 2 - m c 2 2

Onde podemos abria a expressão da raiz da seguinte maneira:

E 2 - m c 2 2 = ( E + m c 2 ) ( E - m c 2 )

Mas lembrando que:

K = E - m c 2

Temos que:

E 2 - m c 2 2 = K ( E + m c 2 )

Agora podemos fazer o seguinte:

K ( E + m c 2 - m c 2 + m c 2 )

⇒ K ( K + 2 m c 2 )

Concluindo temos o seguinte:

p c = K ( K + 2 m c 2 )

⇒ p = K ( K + 2 m c 2 ) c

Passo 3

Agora usando a equação do comprimento de onda de De Broglie, temos:

λ = h p

⇒ λ = h K ( K + 2 m c 2 ) / c

⇒ λ = h c K ( K + 2 m c 2 )

Lembrando que:

K = 3 m c 2

Temos que:

λ = h c 3 m c 2 ( 3 m c 2 + 2 m c 2 )

= h c 15 m 2 c 4

Então temos que:

λ = h m c 15

Passo 4

Agora vamos partir para o item ( b ) .

Temos no caso ( i ) um elétron, temos que sua energia cinética é:

K = 3 m e c 2

Substituindo o que sabemos, ficamos com:

K = 3 ( 9,109 ⋅ 10 - 31 ) ( 3 ⋅ 10 8 ) 2

⇒ K = 245,94 ⋅ 10 - 15   J

Só que o enunciado quer o resulta em M e V , para isso basta usarmos que:

1   J = 0,624 ⋅ 10 13   M e V

Então temos que:

K = 1,53   M e V

E o comprimento de onda é dado por:

λ = h m e c 15

Substituindo o que sabemos, temos:

λ = 6,626 ⋅ 10 - 34 ( 9,109 ⋅ 10 - 31 ) ( 3 ⋅ 10 8 ) 15

= 6,626 ⋅ 10 - 34 105,84 ⋅ 10 - 23

Então temos que:

λ = 6,26 ⋅ 10 - 13   m

Passo 5

Temos no caso ( i i ) um próton, temos que sua energia cinética é:

K = 3 m p c 2

Substituindo o que sabemos, ficamos com:

K = 3 ( 1,672 ⋅ 10 - 27 ) ( 3 ⋅ 10 8 ) 2

⇒ K = 45 , 14 ⋅ 10 - 11   J

Só que o enunciado quer o resulta em M e V , para isso basta usarmos que:

1   J = 0,624 ⋅ 10 13   M e V

Então temos que:

K = 2816,7   M e V

E o comprimento de onda é dado por:

λ = h m p c 15

Substituindo o que sabemos, temos:

λ = 6,626 ⋅ 10 - 34 ( 1,672 ⋅ 10 - 27 ) ( 3 ⋅ 10 8 ) 15

= 6,626 ⋅ 10 - 34 1 9,43 ⋅ 10 - 19

Então temos que:

λ = 3,41 ⋅ 10 - 1 4   m

Resposta

( a )

λ = h m c 15

( b )

Para ( i ) :

K = 1,53   M e V

λ = 6,26 ⋅ 10 - 13   m

Para ( i i ) :

K = 2816,7   M e V

λ = 3,41 ⋅ 10 - 14   m

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