Enunciado

49. Para pequenas amplitudes, as oscilações de um pêndulo constituem um movimento harmônico simples. Para um pêndulo com período igual a 0,500   s , determine a energia do nível fundamental e a diferença entre energias de níveis adjacentes. Expresse seus resultados em joules e em elétrons-volt. Essas energias podem ser medidas?

Passo 1

Esse caso que foi descrito pelo enunciado, como ele mesmo diz, podemos comparar com um oscilador harmônico, com isso o nível fundamental de energia de um oscilador harmônico é dado por:

E 0 = 1 2 ℏ ω

Mas não temos o valor de ω , mas o enunciado nos da T , então se lembrarmos que:

ω = 2 π T

Ficamos bem tranquilos.

Agora para a outra pergunta no enunciado, temos que prestar atenção no seguinte, se olharmos a expressão da energia da seguinte forma:

E n = n ℏ ω + 1 2 ℏ ω

Podemos ver que a diferença de um estado E n para um estado E n + 1 (o nível adjacente) dada por:

E n + 1 = ( n + 1 ) ℏ ω + 1 2 ℏ ω

É apena um fator ℏ ω , então basta calcular quando vale esse fator e encontraremos a diferença que queremos, assim:

Δ E = ℏ ω

O problema quer os resultados expressos em joules e em elétrons-volt, basta usarmos a seguinte relação:

1   J = 6,242 ⋅ 10 18   e V

Passo 2

Vamos começar então galera. Temos:

E 0 = 1 2 ℏ ω

Lembrando que ℏ = h / 2 π e que ω = 2 π / T , então temos que:

E 0 = 1 2 h T

A constante de Planck é dada por h = 6,63 ⋅ 10 - 34   J ⋅ s . Agora substituindo tudo o que sabemos, ficamos com:

E 0 = 1 2 6,63 ⋅ 10 - 34 0,5

= 6,63 ⋅ 10 - 34 1

⇒ E 0 = 6,63 ⋅ 10 - 34   J

Usando a conversão J → e V que mostrei no passo 1 , temos:

E 0 = 4,14 ⋅ 10 - 15   e V

Passo 3

Agora vamos calcular o valor de ℏ ω , para saber a diferença entre os dois estados de energia adjacentes (consecutivos), temos:

Δ E = ℏ ω = h T

⇒ Δ E = 6,63 ⋅ 10 - 34 0,5

= 1,33 ⋅ 10 - 3 3   J

Usando a conversão J → e V que mostrei no passo 1 , temos:

Δ E = 8,3 ⋅ 10 - 15   e V

Como vocês podem ver essa diferença de energia é muito pequena para ser detectada pela eletrônica que temos hoje em dia.

Resposta

E 0 = 6,63 ⋅ 10 - 34   J = 4,14 ⋅ 10 - 15   e V

Δ E = 1,33 ⋅ 10 - 33   J = 8,3 ⋅ 10 - 15   e V

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