Enunciado

51. a ) Mostre por substituição direta na equação de Schrödinger para o oscilador harmônico em uma dimensão que a função de onda ψ 0 x = A 0 e - α 2 x 2 / 2 , onde α 2 = m ω / ℏ , é uma solução com energia correspondente ao nível n = 0 na Equação ( 40.22 ) . b ) Encontre a constante de normalização A 0 . c ) Encontre os pontos clássicos de inversão e mostre, em contraste, que a densidade de probabilidade apresenta um máximo em x = 0 .

Passo 1

Nesse primeiro item o que temos que fazer é substituir a função de onda do estado fundamental do oscilador na equação 40.22 , dada por:

- ℏ 2 2 m d 2 ψ d x 2 + 1 2 k ' x 2 ψ = E ψ

Aí é só ir brincando com a expressão e ver e provar que a igualdade é verdadeira.

Para encontrar a constante de normalização temos que normalizar nossa função de onda, temos que achar A 0 , para que:

∫ - ∞ ∞ ψ 0 x 2 = 1

Com isso conseguimos encontrar nosso A 0 .

Bem como A 0 age como a amplitude da nossa função de onda, A 0 2 é o ponto de inversão de ψ 0 x 2 .

A densidade de probabilidade é dada por ψ 0 x 2 , sabendo disso podemos usar nossos conhecimentos de cálculo para ver se x = 0 é ponto de máximo.

Para isso vamos derivar ψ 0 x 2 uma vez e ver se ela zera com x = 0 se isso acontecer vamos derivar mais uma vez e ver se em x = 0 a expressão que chegamos é menos que zero.

Passo 2

Bem vamos então substituir ψ 0 ( x ) na equação 40.22 e brincar com ela, mas antes vamos calcular as derivadas que aparecem na equação separadamente para não embolar.

Vamos lá, temos:

ψ 0 x = A 0 e - α 2 x 2 / 2

⇒ d ψ 0 d x = - α 2 x A 0 e - α 2 x 2 / 2

⇒ d 2 ψ 0 d x 2 = - α 2 A 0 e - α 2 x 2 / 2 + α 2 2 x 2 A 0 e - α 2 x 2 / 2

= [ - α 2 + α 2 2 x 2 ] A 0 e - α 2 x 2 / 2

Mas sabemos que ψ 0 x = A 0 e - α 2 x 2 / 2 , então:

d 2 ψ 0 d x 2 = [ - α 2 + α 2 2 x 2 ] ψ 0 x

Jogando isso na nossa equação ficamos com:

- ℏ 2 2 m d 2 ψ 0 d x 2 + 1 2 k ' x 2 ψ 0 = E ψ 0

- ℏ 2 2 m [ - α 2 + α 2 2 x 2 ] ψ 0 + 1 2 k ' x 2 ψ 0 = E ψ 0

Podemos dividir tudo por ψ 0 ( x ) , assim:

- ℏ 2 2 m [ - α 2 + α 2 2 x 2 ] + 1 2 k ' x 2 = E

Passo 3

Antes de prosseguirmos na equação vamos nos ligar em alguns detalhes para simplificarmos melhor nossa equação.

A constante k ' é a constante elástica, que pode ser escrita como:

ω = k ' m

⇒ k ' = ω 2 m

E temos que α 2 = m ω / ℏ e temos que a energia do oscilador no modo fundamental é dada por E = ℏ ω / 2 .

Colocando isso na nossa equação ficamos com:

- ℏ 2 2 m - m ω ℏ + m 2 ω 2 ℏ 2 x 2 + 1 2 ( ω 2 m ) x 2 = ℏ ω 2

⇒ ℏ ω 2 - m ω 2 2 x 2 + m ω 2 2 x = ℏ ω 2

Assim encontramos que:

ℏ ω 2 = ℏ ω 2

Com isso provamos que ψ 0 ( x ) é solução da equação.

Passo 4

Agora vamos encontrar a constante de normalização A 0 , para isso vamos fazer o seguinte:

∫ - ∞ ∞ ψ 0 x 2 = 1

Primeiro vamos calcular ψ 0 x 2 , temos:

  ψ 0 x 2 = ψ 0 x ⋅ ψ 0 x

= A 0 e - α 2 x 2 / 2 ⋅ A 0 e - α 2 x 2 / 2

⇒ ψ 0 x 2 = A 0 2 e - α 2 x 2

Então ficamos com:

∫ - ∞ ∞ A 0 2 e - α 2 x 2   d x = 1

⇒ A 0 2 ∫ - ∞ ∞ e - α 2 x 2   d x = 1

A integral que ficamos é uma gaussiana que tem o resultado bem definido, assim:

∫ - ∞ ∞ e - α 2 x 2   d x = π α

Então temos que:

A 0 2 π α = 1

⇒ A 0 = α π

Sabendo que

α 2 = m ω ℏ

α = m ω ℏ

A 0 = m ω ℏ π

⇒ A 0 = m ω π ℏ 1 4

Assim nosso ponto de inversão clássico é dado por:

A 0 2 = m ω π ℏ 1 2

Passo 5

Agora vamos verificar se x = 0 , vamos fazer o que comentei no passo 1 , temos:

ψ 0 x 2 = A 0 2 e - α 2 x 2

⇒ d ψ 0 x 2 d x = A 0 2 ( - 2 α 2 x ) e - α 2 x 2

Se substituirmos x = 0 , temos:

d ψ 0 x 2 d x = A 0 2 ( - 2 α 2 0 ) e - α 2 0 2

= 0

Agora vamos derivar essa expressão mais uma vez e verificar se ele é negativo, temos:

d 2 ψ 0 x 2 d x 2 = - A 0 2 2 α 2 e - α 2 x 2 + 4 A 0 2 α 2 2 x 2 e - α 2 x 2

Fazendo x = 0 , temos:

- A 0 2 2 α 2 e - α 2 0 2 + 4 A 0 2 α 2 2 0 e - α 2 0 2

⇒ - A 0 2 2 α 2 < 0

Logo temos que x = 0 é ponto de máximo.

Resposta

( a )

ψ 0 ( x ) é solução da equação.

( b )

A 0 = m ω π ℏ 1 4

( c )

O ponto de inversão clássico é A 0 = m ω π ℏ 1 4

x = 0 é ponto de máximo

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