Enunciado

56. Incertezas em espectros atômicos. Um certo átomo possui um nível de energia 2,58   e V acima do nível fundamental. Uma vez excitado até esse nível, o átomo permanece nesse nível durante 1,64 ⋅ 10 - 7   s (na média) antes de emitir um fóton e retomar ao nível fundamental. a ) Qual é a energia do fóton (em elétrons-volt)? Qual é seu comprimento de onda (em nanômetros)? b ) Qual é a menor incerteza possível na energia do fóton? Forneça sua resposta em elétrons-volt. c ) Mostre que Δ E / E = Δ λ / λ , quando Δ λ / λ ≪ 1 . Use esse resultado para calcular o módulo da menor incerteza possível no comprimento de onda do fóton. Forneça sua resposta em nanômetros.

Passo 1

Bem, a primeira pergunta do item ( a ) pode ser respondida de imediato, já que a energia do átomo é 2,58   e V acima do estado fundamental então quando ele volta para esse estado ele emite um fóton com essa mesma energia. Assim:

E = 2,58   e V = 4,13 ⋅ 10 - 19   J

Com isso podemos encontrar o comprimento de onda usando a equação de De Broglie, dada por:

λ = h c E

Agora para encontrar a incerteza da energia, vamos usar o seguinte princípio da incerteza.

Δ E Δ t = h 2 π

⇒ Δ E = h 2 π Δ t

Onde faremos Δ t = 1,64 ⋅ 10 - 7   s .

Lembrando que 1   J = 0,624 ⋅ 10 19   e V .

Para demonstrar o que é pedido em ( c ) , vamos usar a equação de De Broglie novamente da seguinte forma:

λ E = h c

Depois que demonstrarmos poderemos usar o resultado para achar a incerteza do comprimento de onda fazendo o seguinte:

Δ E / E = Δ λ / λ

⇒ Δ λ = λ Δ E / E

Passo 2

Vamos então encontrar o comprimento de onda pedido em ( a ) , temos:

λ = h c E

Substituindo o que sabemos, temos:

λ = ( 6,626 ⋅ 10 - 34 ) ( 3 ⋅ 10 8 ) 4,13 ⋅ 10 - 19

= 19,878 ⋅ 10 - 26 4,13 ⋅ 10 - 19

Assim temos que:

λ = 4,81 ⋅ 10 - 7   m

⇒ λ = 481   n m

Passo 3

Agora para a incerteza da energia temos que:

Δ E = h 2 π Δ t

Substituindo o que sabemos, temos:

Δ E = 6,626 ⋅ 10 - 34 2 π ( 1,64 ⋅ 10 - 7 )

Então:

Δ E = 6,43 ⋅ 10 - 28   J

Passando isso para elétrons-volts, temos:

Δ E = 4,01 ⋅ 10 - 9   e V

Passo 4

Agora vamos demonstrar o que é pedido em ( c ) , temos o seguinte:

λ E = h c

Para esse problema vamos fazer como se derivássemos λ e E , então teríamos uma rega da cadeia, a variação de um vezes o outro mais esse primeiro vezes a variação do segundo.

A variação de h c é zero já que esses são constantes, assim:

Δ λ E + λ Δ E = 0

Agora vamos separar o que tem E de um lado e o que tem λ do outro e fazer o módulo dos dois lados.

Δ λ E + λ Δ E = 0

⇒ λ Δ E = - Δ λ E

⇒ Δ E E = - Δ λ λ

Então temos que:

Δ E E = Δ λ λ

Passo 5

Agora vamos pegar o resultado do passo anterior e isolar Δ λ , como mostrei no passo 1 . Assim:

Δ λ = λ Δ E E

Substituindo o que sabemos, ficamos com:

Δ λ = ( 4,81 ⋅ 10 - 7 ) 6,43 ⋅ 10 - 28 4,13 ⋅ 10 - 19

= ( 4,81 ⋅ 10 - 7 ) ( 1,56 ⋅ 10 - 9 )

Assim temos:

Δ λ = 7,5 ⋅ 10 - 16   m

⇒ Δ λ = 7,5 ⋅ 10 - 7   n m

Resposta

( a )

λ = 481   n m

( b )

Δ E = 4,01 ⋅ 10 - 9   e V

( c )

Δ E E = Δ λ λ

Δ λ = 7,5 ⋅ 10 - 7   n m

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