Enunciado

57. As ligações de Van der Waals surgem da interação entre dois dipolos elétricos permanentes ou induzidos existentes em pares de átomos ou de moléculas. a ) Considere dois dipolos idênticos, cada qual constituído por cargas + q e - q , separadas por uma distância d e

orientadas como indicado na Figura 42.40 a . Calcule a energia potencial elétrica expressa em termos do momento de dipolo p = q d , para a situação na qual r ≫ d . A interação é de atração ou repulsão? E como à energia potencial varia em função de r , a distância entre os

centros dos dois dipolos? b ) Repita o item ( a ) para os dipolos orientados como indicado na Figura 42 . 40 b . A interação entre os dipolos é mais complicada quando, por causa da agitação térmica, temos de tomar a média sobre as orientações relativas dos dipolos ou, então,

no caso de dipolos induzidos em vez de dipolos permanentes.

Passo 1

Vamos lá então galera, tanto para o item ( a ) quanto para o item ( b ) vamos usar a mesma equação parra encontrar a energia potencial que é:

U = 1 4 π ϵ 0 ∑ i < j q i q j r i j

De forma mais simplificada teremos que somar as energias potenciais entre cada uma das cargas.

Passo 2

Vamos começar com o item ( a ) , analisando a figura 42.40 a , temos 4 cargas então teremos 6 interações diferentes entre as cargas, logo teremos a soma de 6 energias potenciais.

Então temos o seguinte:

U = 1 4 π ϵ 0 ∑ i < j q i q j r i j = 1 4 π ϵ 0 - q 2 d + 1 4 π ϵ 0 q 2 r + 1 4 π ϵ 0 - q 2 d + r +

+ 1 4 π ϵ 0 - q 2 r - d + 1 4 π ϵ 0 q 2 r + 1 4 π ϵ 0 - q 2 d

⇒ U = q 2 4 π ϵ 0 - 1 d + 1 r - 1 d + r - 1 d - r + 1 r - 1 d

= q 2 4 π ϵ 0 2 r - 2 d - 1 d + r - 1 d - r

Agora temos que dar um jeito de simplificar isso.

Passo 3

Para simplificar a expressão que encontramos no passo anterior, vamos mexer apenas com a seguinte parte.

1 d + r + 1 d - r

Então temos o seguinte:

1 r 1 1 + d r + 1 1 - d r

Expandindo os termos de dentro dos parênteses em série, temos que:

1 r 1 1 + d r + 1 1 - d r ≈ 1 r 1 - d r + d 2 r 2 + … + 1 + d r + d 2 r 2

≈ 1 r 2 + 2 d 2 r 2 = 2 r + 2 d 2 r 3

Passo 4

Agora vamos pegar o que encontramos no passo 3 e aplicar na expressão que chegamos no passo 2 , temos:

U = q 2 4 π ϵ 0 2 r - 2 d - 1 d + r - 1 d - r

= q 2 4 π ϵ 0 2 r - 2 d - 2 r - 2 d 2 r 3

= q 2 4 π ϵ 0 - 2 d - 2 d 2 r 3

Então temos que:

U = - 2 q 2 4 π ϵ 0 d - 2 q 2 d 2 4 π ϵ 0 r 3

Lembrando que p = q d , temos que:

U = - 2 p 2 4 π ϵ 0 d 3 - 2 p 2 4 π ϵ 0 r 3

Como o sinal é negativo temos uma reação atrativa.

E a energia potencial aumenta conforme o r aumenta.

Passo 5

Agora vamos com o item ( b ) , analisando a figura 42.40 b , temos 4 cargas então teremos 6 interações diferentes entre as cargas, logo teremos a soma de 6 energias potenciais.

Então temos o seguinte:

U = 1 4 π ϵ 0 ∑ i < j q i q j r i j = 1 4 π ϵ 0 - q 2 d - 1 4 π ϵ 0 q 2 r + 1 4 π ϵ 0 q 2 d + r +

+ 1 4 π ϵ 0 q 2 r - d + 1 4 π ϵ 0 - q 2 r + 1 4 π ϵ 0 - q 2 d

⇒ U = q 2 4 π ϵ 0 - 1 d - 1 r + 1 d + r + 1 d - r - 1 r - 1 d

= q 2 4 π ϵ 0 - 2 r - 2 d + 1 d + r + 1 d - r

Agora temos que dar um jeito de simplificar isso.

Agora vamos usar o mesmo resultado do passo 3 , assim temos que:

U = q 2 4 π ϵ 0 - 2 r - 2 d + 2 r + 2 d 2 r 3

= q 2 4 π ϵ 0 - 2 d + 2 d 2 r 3

Então temos que:

U = - 2 q 2 4 π ϵ 0 d + 2 q 2 d 2 4 π ϵ 0 r 3

Lembrando que p = q d , temos que:

U = - 2 p 2 4 π ϵ 0 d 3 + 2 p 2 4 π ϵ 0 r 3

Como o sinal do termo que contém r é positivo temos uma reação repulsiva.

E a energia potencial diminui conforme o r aumenta.

Resposta

( a )

U = - 2 p 2 4 π ϵ 0 d 3 - 2 p 2 4 π ϵ 0 r 3

Como o sinal é negativo temos uma reação atrativa.

E a energia potencial aumenta conforme o r aumenta.

( b )

U = - 2 p 2 4 π ϵ 0 d 3 + 2 p 2 4 π ϵ 0 r 3

Como o sinal do termo que contém r é positivo temos uma reação repulsiva.

E a energia potencial diminui conforme o r aumenta.

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Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →