Enunciado

62. A Figura 35.25 mostra um interferômetro denominado biprisma de Fresnel. O ângulo do prisma A é extremamente pequeno. a ) Se S 0 é uma fonte constituída por uma fenda muito estreita, mostre que a distância entre as duas fontes coerentes virtuais S 1 e S 2 é dada por d = 2 a A ( n - 1 ) , onde n é o índice de refração do material do prisma. b ) Calcule o espaçamento entre as franjas de interferência para uma luz incidente verde de comprimento de onda igual a 500   n m , sabendo que a tela está a uma distância de 2 , 0   m do biprisma. Considere a = 0,200   m , A = 3,50   m r a d e n = 1,50 .

Passo 1

Nesse problema teremos que analisar bem a nossa figura.

E para resolução dele vamos usar a lei de Snell dada por:

n 1 sen ⁡ θ 1 = n 2 sen ⁡ θ 2

Vamos usar também a aproximação para pequenos ângulos para o seno, assim:

sen ⁡ θ ≈ θ

Então temos que:

n 1 θ 1 = n 2 θ 2

Mas por que disso? Então, para encontrarmos a distância entre as fontes d , vamos usar a seguinte relação:

tan ⁡ θ ' = d / 2 a

⇒ d = 2 a tan ⁡ θ '

E considerando o triangulo formado pelo primeiro raio (de cima para baixo) que saio da fonte temos que:

θ ' = θ 1 - θ 4

Onde θ 1 é o ângulo de entrada no prisma e θ 4 o ângulo de saída do prisma e é para isso que vamos usar Snell, para encontrarmos o θ 4 com uma dependência de θ 1 .

Para o item ( b ) basta usarmos a seguinte equação que fornece a distância entre as franjas, temos:

Δ y = R λ d

Onde R é a distancia entre a fonte e a tela, logo R = a + b .

Passo 2

Vamos lá então galera, vamos começar a usar a lei de Snell para os ângulos dos raios no prisma, um detalhe que temos que lembrar é que o índice de refração do ar é 1 e o do prisma é n .

Vamos começar analisando o ângulo de entrada no prisma e o ângulo que raio assume logo depois de entrar no prisma ( θ 2 ) , temos que:

n 1 θ 1 = n 2 θ 2

Onde temos n 1 = 1 e n 2 = n , assim:

θ 1 = n θ 2

⇒ θ 2 = θ 1 n

Agora vamos usar a lei de Snell no ângulo que está prestes a sair do prisma na face inclinada ( θ 3 ) e o ângulo de saída ( θ 4 ) .

O θ 3 seria igual ao θ 2 se face do prisma não fosse inclinada, essa inclinação faz com que θ 3 seja dado da seguinte forma:

θ 3 = θ 2 - A

⇒ θ 3 = θ 1 n - A

Aplicando Snell temos que:

n 2 θ 3 = n 1 θ 4

Só que o ângulo de saída também devido a inclinação do prisma tem meno0s um ângulo A , assim:

⇒ n θ 1 n - A = θ 4 - A

⇒ θ 4 = θ 1 - n A + A

Passo 3

Agora vamos encontrar θ ' , temos que:

θ ' = θ 1 - θ 4

= θ 1 - θ 1 - n A - A

Então temos que:

θ ' = n A - A

= A ( n - 1 )

Agora usando a expressão que chegamos no passo 1 para d , temos:

d = 2 a tan ⁡ θ '

⇒ d = 2 a tan ⁡ ( A ( n - 1 ) )

Usando a aproximação de pequenos ângulos para a tangente, temos que:

d = 2 a A ( n - 1 )

Passo 4

Agora para o item ( b ) temos o seguinte:

Δ y = R λ d

Usando o resultado de ( a ) ao nosso favor, temos:

Δ y = R λ 2 a A ( n - 1 )

E como comentei no passo 1 temos que R = a + b , assim:

Δ y = ( a + b ) λ 2 a A ( n - 1 )

Agora usando os valores fornecidos pelo enunciado, temos:

Δ y = ( 2 + 0,2 ) ( 500 ⋅ 10 - 9 ) 2 ( 0,2 ) ( 3,5 ⋅ 10 - 3 ) ( 1,5 - 1 )

= 1100 ⋅ 10 - 9 0,7 ⋅ 10 - 3

Então temos que:

Δ y = 1,57 ⋅ 10 - 3   m

Resposta

( a )

d = 2 a A ( n - 1 )

( b )

Δ y = 1,57 ⋅ 10 - 3   m

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