Enunciado

62. As medidas de atividade de uma amostra radioativa são indicadas na tabela abaixo. a ) Calcule a meia-vida. b ) Quantos núcleos radioativos estavam presentes na amostra no instante t = 0 ? c ) Quantos estavam presentes depois de 7 h ?

Passo 1

Então galera, vamos lá!

O tempo de meia vida pedido em ( a ) pode ser encontrado de forma tranquila usando a seguinte equação:

T 1 / 2 = ln ⁡ 2 λ

O problema é achar esse λ (constante de decaimento), ele pode ser encontrado ajustando a curva dos dados fornecidos pela tabela, colocando esses dados em gráfico temos o seguinte:

Plotando esses dados e ajustando a linha de tendência encontramos a seguinte função para esse gráfico:

y = 19982 e - 0,5995 x

Onde teremos que λ = 0,5995 que é o parâmetro que determina a inclinação da curva.

Sabendo disso nossas contas ficam tranquilas.

Agora para achar quantos núcleos nós tínhamos no instante inicial, basta usarmos a equação ( 43.16 ) dada por:

d N t d t = λ N ( t )

Não iremos usar o sinal de negativo que tem na equação pois ele será irrelevante nesse caso.

Onde vamos fazer t = 0 , o parâmetro d N ( t ) / d t são os valores da coluna direita da nossa tabela (decaimentos por segundo), mas nesse caso iremos querer o decaimento por hora já que λ foi determinado em relação au tempo em horas.

E N ( t ) para t = 0 vai ser o número de núcleos que estamos procurando.

Para achar quantos núcleos estavam presentes depois de 7   h , basta usar a equação 43.17 , que ela nos fornece o número de núcleos restantes, ela é da seguinte forma:

N t = N 0 e - λ t

Passo 2

Vamos as contas então, vamos achar o tempo de meia vida, temos que:

T 1 / 2 = ln ⁡ 2 λ

Substituindo o valor de λ , temos:

T 1 / 2 = ln ⁡ 2 0,5995

⇒ T 1 / 2 = 1,16   h

Passo 3

Agora vamos calcular o número de núcleos iniciais, temos que:

d N t d t = λ N ( t )

Onde para t = 0 segundo a tabela, temos:

d N 0 d t = 20000   d e c a i m e n t o s / s

Mas nos interessa o decaimento por hora, assim basta multiplicar esse valor por 3600   s que é a quantidade de segundos em uma hora, assim:

d N 0 d t = 7,2 ⋅ 10 7   d e c a i m e n t o s / h

Agora usando a equação inicial temos que:

d N 0 d t = λ N ( 0 )

⇒ N 0 = 7,2 ⋅ 10 7 0,5995

⇒ N 0 = 1,201 ⋅ 10 8

Passo 4

Agora vamos encontrar o número de núcleos restantes em t = 7   h , temos que:

N t = N 0 e - λ t

Substituindo os valores que sabemos para t = 7   h , temos:

N 7 = 1,201 ⋅ 10 8 e - 0,5995 ( 7 )

⇒ N 7 = 1,81 ⋅ 10 6

Resposta

( a )

T 1 / 2 = 1,16   h

( b )

N 0 = 1,201 ⋅ 10 8

( c )

N 7 = 1,81 ⋅ 10 6

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