Enunciado

64 . O cilindro interior de um longo capacitor cilíndrico possui raio r a e densidade linear de carga + λ . Em torno dele, há uma casca condutora cilíndrica coaxial de raio interno r b e densidade linear de carga - λ (veja a Figura 24.6 ). ( a ) Qual é a densidade de energia na região entre os condutores a uma distância r do eixo? ( b ) Integre a densidade de energia calculada

na parte ( a ) sobre o volume entre os condutores em um comprimento L do capacitor para obter a energia total do campo elétrico por unidade de comprimento. ( c ) Use a Equação 24.9 e a capacitância por unidade de comprimento calculada no Exemplo 24.4 (Seção 24.1 ) para calcular U / L . Seu resultado concorda com o obtido na parte ( b ) ?

Passo 1

Vem comigo que a gente dá conta dessa!

Para esse problema temos que lembrar que a densidade de energia é dada por:

u = 1 2 ϵ 0 E 2

Para esse problema também temos que saber o comportamento do campo elétrico nesse sistema. Considerando a distribuição de carga dada pelo enunciado, temos que:

r < r a :

E = 0

r a < r < r b :

E = λ 2 π ϵ 0 r

Esse é o campo de um fio infinito com densidade linear de carga λ .

r > r b :

E = 0

No item ( c ) o enunciado fala para usarmos a equação 24.9 dada por:

U = Q 2 2 C

E a capacitância por unidade de comprimento calculada no Exemplo 24.4 , dada por:

C L = 2 π ϵ 0 ln ⁡ r b / r a

Para calcularmos U / L .

Vamos as contas!

Passo 2

Vamos começar com o item ( a ) .

Temos que:

u = 1 2 ϵ 0 E 2

Como só temos campo em r a < r < r b , ficamos com:

u = 1 2 ϵ 0 λ 2 π ϵ 0 r 2

u = 1 8 λ 2 π 2 ϵ 0 r 2

Passo 3

Agora vamos para o item ( b ) .

O enunciado quer que calculemos a seguinte integral:

∫ r a r b u   d V

No nosso caso temos que d V = 2 π L r   d r , assim:

∫ r a r b u 2 π L r   d r

Disso vamos obter U depois basta dividir por L para encontrar a energia por unidade de comprimento. Assim:

U = ∫ r a r b 1 8 λ 2 π 2 ϵ 0 r 2 2 π L r   d r

= ∫ r a r b 1 4 λ 2 π ϵ 0 r L   d r

= 1 4 λ 2 π ϵ 0 L ∫ r a r b 1 r   d r

Assim temos que:

U = 1 4 λ 2 π ϵ 0 L ln ⁡ r b r a

Dividindo os dois lados, temos:

U L = 1 4 λ 2 π ϵ 0 ln ⁡ r b r a

Passo 4

Agora vamos para o item ( c ) .

Temos que a energia no capacitor é dada por:

U = Q 2 2 C

E que a capacitância por unidade de comprimento é:

C L = 2 π ϵ 0 ln ⁡ r b / r a

Juntando os dois temos:

U = Q 2 2 2 π ϵ 0 ln ⁡ r b / r a L

⇒ U = Q 2 4 π ϵ 0 L ln ⁡ r b r a

Agora usando o fato de que Q = λ L , assim temos:

U = λ 2 L 2 4 π ϵ 0 L ln ⁡ r b r a

⇒ U L = λ 2 4 π ϵ 0 ln ⁡ r b r a

Esse é o mesmo resultado que encontramos em ( b ) .

Resposta

( a )

u = 1 8 λ 2 π 2 ϵ 0 r 2

( b )

U L = λ 2 4 π ϵ 0 ln ⁡ r b r a

( c )

O que encontramos está de acordo com o item ( b ) .

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