Enunciado

64. A FIGURA P14.64 é uma vista superior de um objeto de massa m preso entre duas tiras de borracha, esticadas, de comprimento L . O objeto encontra-se em repouso sobre uma superfície desprovida de atrito. No equilíbrio, a tensão em cada tira de borracha é T . Encontre uma expressão para a freqüência das oscilações perpendiculares às tiras de borracha. Suponha que a amplitude seja pequena o suficiente para que o módulo da tensão nas tiras permaneça essencialmente inalterado enquanto a massa oscila.

Passo 1

Opa! E aí brother! Lá vamos nós de novo!

Se liga só! A primeira coisa que devemos fazer, é um esboço pra representar melhor o que está acontecendo melhor nesse nosso problema!

E aqui está...

Como nosso objeto executa um M H S , então é preciso assumir que o valor do ângulo θ é bem pequeno.

Quanto as forças que obviamente atuam em nosso bloco, temos o seguinte diagrama de corpo livre para o nosso objeto, com duas forças de tração presentes.

Passo 2

Terminada esse parte introdutória, chatinha, bora pro que interessa!

Apliquemos o somatórios das forças na direção y , usando a 2 ª lei de Newton;

∑ F y = m a y

- 2 T sen ⁡ θ = m a y

E depois, vamos focar na primeira figura do P a s s o   1 ...

Bom! Por essa figura, tá bem claro que...

sen ⁡ θ = y L 2 + y 2

Passo 3

Na nossa oscilaçao, quando o valor de y é muito pequeno, de maneira que y ≪ L , pegando a relação anterior, nós podemos aproximá-la de tal forma que;

sen ⁡ θ ≈ y L 2

sen ⁡ θ ≈ y L

Só que pela figura y / L é na verdade, a tangente de θ . Logo, temos que...

sen ⁡ θ ≈ tan ⁡ θ

Isto é claro, para ângulo muito pequenos e muito menores que 1   radiano.

θ ≪ 1   r a d

Passo 4

Voltando à 2 ª lei de Newton...

- 2 T sen ⁡ θ = m a y

Com as novas relações que obtivemos, chegamos à...

- 2 T sen ⁡ θ ≈ - 2 T L y = m a y

Só que...

a y = d 2 y d t 2

O que nos leva, então, à...

≈ - 2 T L y = m d 2 y d t 2

d 2 y d t 2 = - 2 T m L y

Esse 2 T / L é tipo uma constante, que nem a constante k do sistema massa-mola. Pra falar a verdade, esses dois sistemas são bem parecidos.

Que tal dar um nome essa constante!? Chamemos ela de s ...

s = 2 T L

Passo 5

Finalmente, para obter a frequência de oscilação, basta usar a fórmula abaixo para oscilação... Como nosso sistema é bem parecido com o sistema massa-mola, usemos a mesma fórmula abaixo da frequência do sistema massa mola...

f = 1 2 π k m

Mas temos que trocar as contantes, afinal s é a constante para o nosso sistema...

f = 1 2 π s m

f = 1 2 π 2 T L m

Pronto! Essa é a fórmula da frequência que queríamos!

Resposta

f = 1 2 π 2 T L m

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