Lista de Exercícios Resolvidos de Posição e Fase do MHS

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Os gráficos abaixo descrevem o movimento de quatro osciladores harmônicos simples. Assinale a alternativa INCORRETA:

  1. Todos, exceto I I I oscilam com período de 10 s .
  2. I I e I V partem de sua posição de equilíbrio em t = 0 s .
  3. I e I I oscilam com a mesma amplitude.
  4. I I I oscila com frequência menor que todos os restantes.
  5. I I I realiza 18 oscilações por minuto.

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Durante um conserto de uma roda-gigante com raio de 40 metros, um técnico deixa apenas um dos carrinhos instalado. Para testes, a roda é acionada por volta de meio-dia, até atingir uma velocidade angular constante correspondente a uma volta a cada 180 segundos, no sentido anti-horário. O técnico então observou que a sombra do carrinho projetada no chão descreve um movimento harmônico simples. Suponha que o técnico começou a observar a sombra quando o carrinho se encontrava no alto da trajetória. (Adote o ponto central da projeção como origem do eixo x e considere que a sombra possui velocidade inicial negativa).

  1. Encontre a amplitude do movimento da sombra projetada no solo.
  2. Encontre o período e a frequência angular deste movimento.
  3. Escreva as equações que descrevem a posição, a velocidade e a aceleração da sombra em função do tempo neste movimento harmônico simples.
  4. Faça um gráfico da sombra em função do tempo para dois períodos. No gráfico devem estar indicados, numericamente, os valores máximo e mínimo da posição e os tempos em que a sombra atinge esses pontos.

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Qual é a constante da fase do oscilador harmônico cuja função aceleração a ( t ) aparece na Fig. 15-56 se a função posição x ( t ) é da forma x = x m cos ⁡ ( ω t + φ   ) e a s = 4,0   m / s 2 ?

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Qual é a constante de fase do oscilador harmônico cuja função posição x ( t ) aparece na figura abaixo, se a função posição é da forma x = x m cos ⁡ ( ω t +   ∅ ) ? A escala do eixo vertical é definida por x 3 = 6,0 cm.

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A figura abaixo mostra um gráfico de posição v e r s u s tempo de um oscilador harmônico simples:

A função x t que melhor descreve o movimento do oscilador harmônico mostrado no gráfico acima é dada por:

  1. x t = 15 cos ⁡ 0,1 t + π / 2
  2. x t = 15 cos ⁡ 0,1 t - π / 2
  3. x t = 15 cos ⁡ 0,2 π t + π / 2
  4. x t = 15 cos ⁡ 0,2 π t - π / 2
  5. x t = 30 cos ⁡ 0,1 t + π / 2
  6. x t = 30 cos ⁡ 0,1 t - π / 2
  7. x t = 30 cos ⁡ 0,2 π t + π / 2
  8. x t = 30 cos ⁡ 0,2 π t - π / 2

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A figura abaixo mostra a posição x ( t ) de um bloco oscilando em MHS na extremidade de uma mola ( t s = 40,0   m s ) . Quais são

a) a velocidade e b) o módulo da aceleração radial de uma partícula circular uniforme correspondente?

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A figura abaixo mostra um gráfico de posição v s tempo de um oscilador harmônico simples.

A função x ( t ) que melhor descreve o movimento do oscilador harmônico mostrado no gráfico acima é dada por:

  1. x t = 15 cos ⁡ 0,1 t + π 2 .
  2. x t = 15 cos ⁡ 0,1 t - π 2 .
  3. x t = 15 cos ⁡ 0,2 π t + π 2 .
  4. x t = 15 cos ⁡ 0,2 π t - π 2 .
  5. x t = 30 cos ⁡ 0,1 t + π 2 .
  6. x t = 30 cos ⁡ 0,1 t - π 2 .
  7. x t = 30 cos ⁡ 0,2 π t + π 2 .

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Os gráficos abaixo descrevem o movimento de quatro osciladores harmônicos simples. Assinale a alternativa INCORRETA:

  1. Todos, exceto I I I oscilam com período de 10 s .
  2. I I e I V partem de sua posição de equilíbrio em t = 0 s .
  3. I e I I oscilam com a mesma amplitude.
  4. I I I oscila com frequência menor que todos os restantes,
  5. I I I realiza 18 oscilações por minuto.

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Num museu, um quadro circular de um pintor modernista é pendurado por um ponto P da borda, como mostra a figura. Um visitante inadvertidamente esbarra no quadro, que passa a executar pequenas oscilações em torno do ponto P .

Sabendo que o raio do quadro é 50 c m e que seu momento de inércia em relação a um eixo perpendicular passando pelo centro de massa é I C M = M R 2 / 2 , onde M é sua massa, a frequência angular ω das pequenas oscilações do quadro é:

  1. ω = 6,3 r a d / s
  2. ω = 3,6 r a d / s
  3. ω = 1,0 r a d / s
  4. ω = 0,57 r a d / s
  5. Não é possível determinar ω sem saber a massa do quadro.

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O gráfico mostra a oscilação de um bloco de massa 300   g preso a uma mola. Responder justificando:

  1. Qual é a constante elástica da mola?
  2. Qual é o módulo da velocidade do bloco ao passar pela posição de equilíbrio?
  3. Qual é a constante de fase?

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O gráfico abaixo mostra a oscilação horizontal de um bloco de massa 0,20 kg preso a uma mola ideal.

a) Qual a constante elástica da mola?

b) Escreva a equação que descreve x(t).

c) Qual é o módulo da velocidade do bloco ao passar pela posição de equilíbrio?

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Um ponto move-se sobre a circunferência de raio R desacelerando, de modo que no cada instante os módulos da aceleração radial e transversal são iguais. Sabendo que no instante t = 0 a velocidade angular do ponto é igual a ω 0 . Encontre, usando coordenadas polares:

  1. A velocidade angular ω do ponto.
  2. A velocidade v do ponto.
  3. A aceleração a do ponto.

Formulário:

a r = r ¨ - r θ ˙ 2

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙

v = r ˙ e r + r θ ˙ e θ

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O gráfico a seguir mostra como a posição x de um móvel oscila com o tempo t . A lei horária da posição x ( t ) deste objeto é melhor descrita por

  1. ( 4   m )   c o s   [ ( π 3   s - 1 ) t   -   π 3 ]  
  2. ( 4   m )   c o s   [ ( π 3   s - 1 ) t   +   π 3 ]  
  3. ( 8   m )   c o s   [ ( π 3   s - 1 ) t   -   π 3 ]  
  4. ( 4   m )   c o s   [ ( 2 π 3   s - 1 ) t   -   π 3 ]
  5. ( 8   m )   c o s   [ ( 2 π 3   s - 1 ) t   -   π 3 ]
  6. ( 8   m )   c o s   [ ( 2 π 3   s - 1 ) t   +   π 3 ]
  7. ( 4   m )   s e n   [ ( π 3   s - 1 ) t   +   π 3 ]  
  8. ( 8   m )   s e n   [ ( π 3   s - 1 ) t   –   π 3 ]  

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3 . Os gráficos abaixo descrevem o movimento de quatro osciladores harmônicos simples. Assinale a alternativa INCORRETA.

( a ) I I I oscila com frequência menor que todos os restantes.

( b ) I I e I V partem de sua posição de equilíbrio em t = 0   s .

( c ) I e I I oscilam com a mesma amplitude.

( d ) I ,   I I e I V oscilam com período de 10   s .

( e ) I I I realiza 18 oscilações por minuto.

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Uma partícula de massa m = 0,20   k g oscila harmonicamente com equação x t = 5,0 cos ⁡ 4,0   t + π 2   m .

  1. Qual a frequência e o período desta oscilação?
  2. Faça os gráficos da posição e da velocidade entre os instantes t = 0 e t = π   s , indique corretamente no gráfico os valores da posição e da velocidade no gráfico correspondente para t = 0 ,     π 8 ,     π 2   e   7 π 8 . Indique também no eixo vertical os valores máximos e mínimos para x , y
  3. Faça os gráficos da energia cinética e da energia mecânica total entre os instantes t = 0 e t = π   s . Indique corretamente no gráfico os valores da energia cinética e da energia mecânica correspondente para t = 0 ,     π 8 ,     π 2   e   7 π 8 . Indique também no eixo vertical os valores máximos de K e E .

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A figura mostra as curvas obtidas em três experimentos diferentes para o deslocamento horizontal em relação à posição de equilíbrio, x ( t ) , de um mesmo sistema bloco-mola que oscila descrevendo um movimento harmônico simples. Qual alternativa é correta?

(a) Em t = t A , o módulo da aceleração do bloco no experimento 2 é menor que no experimento 1 e maior que no experimento 3.

(b) Em t = t A , a energia potencial elástica no experimento 1 é maior que a energia potencial elástica nos experimentos 2 e 3, sendo a energia potencial elástica no experimento 3 menor que no experimento 2.

(c) Em t = t A , o módulo da velocidade do bloco no experimento 1 é maior que nos experimentos 2 e 3.

(d) A freqüência angular do sistema nos três experimentos é diferente.

(e) Em t = t A , a energia cinética do bloco no experimento 2 é maior que no experimento 3.

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Duas partículas executam movimentos harmônicos simples de mesma amplitude (A) e mesmo período (T) ao longo de retas paralelas muito próximas. Existe uma diferença de fase de π / 4   r a d entre os movimentos. Considere que a partícula 2 está atrasada em relação à primeira e que a posição da primeira é descrita por

x 1 t = A   c o s 2 π T t

a) Escreva a posição da segunda partícula, x 2 ( t ) .

Faça (no caderno de respostas) o gráfico das posições x 1 e x 2 das partículas em função do tempo para o intervalo 0   ≤   t   ≤   T (indique, os zeros e os pontos de máximo e mínimo das

funções).

b) Determine a distância entre as partículas (em termos de A) quando a partícula mais atrasada passar pelo ponto de maior deslocamento.

c) Determine, em função de A, em que posições as partículas passam uma pela outra.

d) Determine, em função de A e T, as velocidades das partículas nessas posições do item (c).

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Um movimento harmônico simples de um objeto é descrito pelo gráfico mostrado na figura abaixo. Qual é a equação da posição x ( t ) do objeto em função do tempo t ?

  1. x t = 4 m s e n 2 π 8 s t   - 2 π 3 r a d
  2. x t = 8 m c o s 2 π 8 s t + 2 π 3 r a d
  3. x t = 4 m c o s 2 π 8 s t + π 3 r a d
  4. x t = 4 m c o s 2 π 8 s t - π 3 r a d
  5. x t = 8 m c o s 2 π 8 s t   - π 3 r a d

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Um oscilador harmônico simples é formado por um bloco preso a uma mola com k = 200   N / m . O bloco desliza em uma superfície sem atrito, com o ponto de equilíbrio em x = 0 e uma amplitude de 0,20   m . A figura ao lado representa o gráfico da velocidade v do bloco em função do tempo t. Considere π 2 ≈ 10 . Cuidado com os sinais!

Dados: x ( t )   =   x m cos ⁡ ( ω t + Φ )

a) Qual é o período do MHS?

b) Qual é a massa do bloco?

c) Qual o deslocamento do bloco no instante t = 0 ?

d) Qual é a aceleração do bloco no instante t = 0,10   s ?

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Um corpo de massa 1,0   k g está em movimento harmônico sobre uma superfície horizontal sem atrito e preso a uma mola ideal. O gráfico mostra a posição x do corpo em função do tempo t . Qual é a energia cinética máxima do corpo?

(A) 0,20   J

(B) 0,13   J

(C) 0,40   J

(D) 0,26   J

(E) 0,79   J

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Qual dos seguintes gráficos representa um movimento harmônico simples com amplitude 2,0   c m e frequência angular 2,0   r a d / s ?

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A figura ao lado mostra o gráfico da posição em função do tempo de um oscilador harmônico simples, constituído de um sistema massa-mola com constante elástica k = 6 × 10 4   N / m . Determine:

  1. a velocidade inicial da massa em c m / s
  2. o valor máximo de sua energia cinética em joules.

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A posição de uma partícula é dada por x ( t )   =   ( 7   c m )   c o s ( 6 π t ) , onde t   é dado em segundos. Seja   t 1 o primeiro instante após t   =   0 em que a partícula passa pela origem e seja v 1 sua velocidade neste instante. Podemos afirmar que:

  1. t 1   =   1 / 12 s ;   v 1   >   0
  2. t 1   =   1 / 12 s ;   v 1     <   0
  3. t 1   =   1 / 6 s ;   v 1   >   0
  4. t 1   =   1 / 3 s ;   v 1   >   0
  5. t 1   =   1 / 6 s ;   v 1   <   0

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O movimento harmônico simples de um objeto é descrito pelo gráfico mostrado abaixo. Como se escreve a equação da posição deste objeto em função do tempo, onde x(t) é expresso em m e t em s?

a) x t = 4,0   s e n ⁡ ( 2 π 8,0 t + π 3 )

b)   x t = 4,0   c o s ⁡ ( 2 π 8,0 t + 2 π 3 )

c)   x t = 4,0   c o s ⁡ ( 2 π 8,0 t + π 3 )

d)   x t = 4,0   c o s ⁡ ( 2 π 8,0 t - π 3 )

e) x t = 8 , 0   c o s ⁡ ( 2 π 8,0 t + π 3 )

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O gráfico mostra a velocidade em função do tempo de uma partícula de massa m = 2   k g , ligada a uma mola, que move-se em movimento retilíneo sobre uma mesa horizontal sem atrito, realizando um MHS. A velocidade inicial da partícula é v 0 = 2,5   m / s . A expressão do deslocamento da partícula em função do tempo é:

a) x t = 1 4 π cos ⁡ 5 π t + π 6

b) x t = 1 8 π cos ⁡ 20 π t + 5 π 6

c) x t = 1 4 π cos ⁡ 20 π t + 7 π 6

d) x t = 1 8 π cos ⁡ 10 π t - 7 π 6

e) x t = 1 4 π cos ⁡ 20 π t - π 6

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Os três gráficos da figura ao lado representam a posição em função do tempo, x ( t ) , de partículas realizando diferentes movimentos harmônicos simples, identificados pelas letras H, K e J. Se as velocidades máximas das partículas são dadas por v m a x , H , v m a x , K e v m a x , J para os movimentos H, K e J, respectivamente, e ω H , ω K e ω J são as respectivas frequências angulares dos movimentos, podemos afirmar que:

a) v m a x , H > v m a x , J > v m a x , K e ω H < ω J = ω K .

b) v m a x , H < v m a x , J = v m a x , K e ω H > ω J = ω K .

c) v m a x , K > v m a x , J > v m a x , H e ω H > ω J > ω K .

d) v m a x , H < v m a x , J < v m a x , K e ω H < ω J = ω K .

e) v m a x , H < v m a x , J < v m a x , K e ω H < ω J < ω K .

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Durante um conserto de uma roda-gigante com raio de 40 metros, um técnico deixa apenas um dos carrinhos instalado. Para testes, a roda é acionada por volta de meio-dia, até atingir uma velocidade angular constante correspondente a uma volta a cada 180 segundos, no sentido anti-horário. O técnico então observou que a sombra do carrinho projetada no chão descreve um movimento harmônico simples. Suponha que o técnico começou a observar a sombra quando o carrinho se encontrava no alto da trajetória. (Adote o ponto central da projeção como origem do eixo x e considere que a sombra possui velocidade inicial negativa).

  1. Encontre a amplitude do movimento da sombra projetada no solo.
  2. Encontre o período e a frequência angular deste movimento.
  3. Escreva as equações que descrevem a posição, a velocidade e a aceleração da sombra em função do tempo neste movimento harmônico simples.
  4. Faça uma gráfico da sombra em função do tempo para dois períodos. No gráfico devem estar indicados, numericamente, os valores máximo e mínimo da posição e os tempos em que a sombra atinge esses pontos.

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Um oscilador harmônico fracamente amortecido é descrito pela equação m x ˙ ˙ = - k x - ρ x ˙ e a posição da massa em função do tempo é mostrada no gráfico abaixo. Para uma massa m = 1 k g , os valores de k e ρ mais apropriados para este oscilador (dica: l n 5 ≅ 1.6 ; l n 3 ≅ 1.1 ;   π 2 ≈ 10 ) são:

  1. k   =   50 N m   e   r   =   5 k g s .
  2. k   =   50 N m   e   r   =   0 ,   5 k g s .
  3. k   =   10 N m   e   r   =   10 k g s .
  4. k   =   100 N m   e     r   =   5 k g s .
  5. k   =   90 N m   e     r   =   0 ,   5 k g s .

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Considere a representação gráfica de um movimento harmônico simples de uma partícula, mostrada na figura. Quando a partícula está no ponto A do gráfico, o que se pode dizer a respeito da posição e da velocidade da partícula?

a) a posição é negativa e a velocidade é positiva;

b) a posição é positiva e a velocidade é negativa;

c) a posição e a velocidade são ambas negativas;

d) a posição e a velocidade são ambas positivas;

e) a posição é positiva e a velocidade é zero;

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A figura de Lissajous abaixo descreve o movimento de uma massa sujeita a duas forças restauradoras perpendiculares, independentes, F x   =   - k x x e F y   =   - k y y . Qual é a razão entre as constantes k x / k y destas forças restauradoras?

( a ) 2

( b )   4

c 1 / 16

( d )   1 / 4  

( e )   16

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