Enunciado

65. Somos poeira de estrelas. Em 1952, linhas espectrais do elemento tecnécio-99 ( 99 T c )   foram descobertas em uma estrela gigante vermelha. Gigantes vermelhas são estrelas antigas, muitas vezes de cerca de 10   b i l h õ e s de anos e perto do fim de suas vidas. O tecnécio não tem isótopos estáveis, e a meia-vida do 99Tc é 200.000   a n o s . a ) Durante quantas meias-vidas o 99Tc esteve na estrela gigante vermelha, se a sua idade é 10   b i l h õ e s   d e   a n o s ? b ) Que fração do 99Tc original restaria ao final desse tempo? Essa descoberta foi extremamente importante, pois forneceu provas convincentes da teoria (agora considerada verdadeira) de que a maioria dos átomos mais pesados do que o hidrogênio e o hélio foram criados dentro de estrelas por meio da termofusão nuclear e outros processos nucleares. Se o 99Tc fizesse parte da estrela desde que ela nasceu, a quantidade remanescente após 10   b i l h õ e s   d e   a n o s seria tão pequena que não seria detectável. Essa informação levou o falecido astrônomo Carl Sagan a declarar que “somos poeira de estrelas”.

Passo 1

Então galera vamos lá!

Para achar quantas meias-vidas o T c esteve presente na estrela, basta dividir a idade dele pelo tempo de meia-vida, pois assim saberemos quantas meias-vidas tem nesse período.

Agora para achar a fração do T c original no final desse tempo teremos que usar a seguinte equação:

N t = N 0 1 2 n

Onde temos que n = t / T 1 / 2 (repare que é o que vamos calcular em ( a ) ).

Mas só estaremos interessados no termo 1 / 2 n da equação, já que ele nos dá a fração do N 0 que é a quantidade original de T c .

Passo 2

Vamos então calcular a quantas meias-vidas o T c está presente na estrela, temos:

n = 10000000000 200000

Vamos deixar isso de uma forma mais sofisticada, temos:

n = 1 ⋅ 10 10 2 ⋅ 10 5

⇒ n = 5 ⋅ 10 4

Passo 3

Agora vamos encontrar a fração de T c que sobrou da quantidade original, como falei no passo 1 essa fração é dada pela seguinte expressão:

1 2 n

Onde n vai ser igual ao valor que encontramos em ( a ) , temos então:

1 2 5 ⋅ 10 4

= 0,5 5 ⋅ 10 4

Como você pode ver esse expoente é muito grande para ser calculado em uma calculadora normal, então vamos deixá-lo nessa forma.

Resposta

( a )

5 ⋅ 10 4

( b )

0,5 5 ⋅ 10 4

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