Enunciado

As medidas de atividade de uma amostra radioativa com diversos elementos misturados são indicadas na table abaixo. (a) Quantos nucleotídeos diferentes estão presentes na mistura? (b) Quais são suas meias-vidas? (c) Quantos núcleos de cada tipo estão inicialmente presentes na amostra? (d) Quantos núcleos de cada tipo estão presentes para t = 5,0   h ?

Passo 1

(a) Bom pessoal, a gente sabe que a equação que governa esse fenômeno de decaimento é essa aqui:

N t = N 0 e - λ t

Onde a constante de decaimento λ se relaciona com a meia vida T 1 / 2 por essa equação:

λ = ln ⁡ 2 T 1 / 2

Beleza. Então olha o que acontece com aquele equação lá de cima quando a gente aplica o logaritmo dos dois lados:

ln ⁡ N t = ln ⁡ N 0   e - λ t

ln ⁡ N t = ln ⁡ N 0 + ln ⁡ e - λ t

E lembrando que ln ⁡ a b   = b ln ⁡ a , então:

ln ⁡ N t = ln ⁡ N 0 - λ t ln ⁡ e

Mas como ln ⁡ e = 1 :

ln ⁡ N t = ln ⁡ N 0 - λ t

Beleza, então a gente pode linearizar a equação pra encontrar uma função que é:

ln ⁡ N t           v s .             t

Que tem que ser uma reta! Já que a equação é do tipo:

Y = A X + B

Onde o nosso coeficiente linear A vai ser a constante de decaimento - λ .

Então vamos fazer essa tabela (vamos precisar de uma calculadora!):

Passo 2

Beleza, agora é hora de pegar um papel milimetrado (ou um computador!) e fazer esse gráfico.

Vamos colocar esses 15 pontos. No eixo x vamos colocar os valores da primeira coluna, e no eixo y vamos colocar os valores da terceira coluna.

O gráfico tem que ficar mais ou menos assim:

Poxa, mas não deveria ser uma linha reta? É aí que entra a nossa tarefa. Pode ser que tenha mais de um elemento sendo registrado aí!

Se você olhar bem para o seu gráfico, vai ver que dá pra separar dois trechos aí em que a curva é muito próxima de uma reta:

Ok, então vamos dizer que temos duas espécies diferentes.

Passo 3

(b) Ok, então vamos calcular os coeficientes lineares em cada um desses trechos, que são as nossas constantes de decaimento.

Olhando para a reta verde primeiro, escolha dois tempos quaisquer, podem ser os da tabela mesmo!

P 1 =   4 h   ,   6,39

P 2 = 12   h ,   3,50

E então o coeficiente angular é:

A = 3,50 - 6,39 12 - 4 = - 0,36   h - 1

E como A = - λ :

λ = 0,36

E então a meia-vida é:

λ = ln ⁡ 2 T 1 / 2         ⇒           T 1 / 2 = ln ⁡ 2 0,36 = 1,93   h

E se você prolongar a reta verde, vai ver que ela toca o eixo y bem perto do 7,8 (não precisa ser muito preciso aqui!). Isso quer dizer que:

ln ⁡ N 0 ≈ 7,8

N 0 = e 7,8 ≅ 2500 / s

Então podemos completar a nossa fórmula:

N t = 2500 e - 0,36   t

Passo 4

Agora a gente quer fazer a mesma coisa para a linha vermelha.

Vamos pegar os pontos que tem a abcissa entre 0   h e mais ou menos 2   h . Olhando a tabela:

P 1 = 0,0   h   ,   7500

P 2 = 2,0   h   ,   1350

Mas vamos tentar remover o efeito da segunda amostra (da linha verde). Pra isso vamos ver quantas contagens a segunda amostra gera nesses dois pontos:

N 0 = 2500 e - 0,36   0 = 2500

N 2,0 = 2500 e - 0,36   2,0 = 1214

Então, subtraindo:

P 1 = 0,0   h   ,   7500 - 2500 = 0,0   h   ,   5000

P 2 = 2,0   h   ,   1350 - 1214 = 2,0   h   ,   135

E tirando os logaritmos:

P 1 = 0,0   h   ,   8,52

P 2 = 2,0   h   ,   4,91

E nesse caso o coeficiente angular é:

A = 4,91 - 8,52 2,0 - 0,0 = - 1,80

E então a constante de decaimento seria:

λ = 1,80

E a meia vida:

T 1 / 2 = ln ⁡ 2 1,80 = 0,39   h

E como a gente já viu que o número de decaimentos seria 5000 / s em t = 0,0   h , então já dá pra construir nossa equação:

N t = 5000 e - 1,80 t

Passo 5

(c) Tá, agora vem um problema. Quantas amostras estão presentes inicialmente na amostra?

Bom pessoal, uma forma de resolver isso é integrando as equações que a gente achou.

Já que N t dá o número de decaimentos por segundo em uma determinada hora, se a gente multiplicar por 3600   s / h :

3600   N t

Vamos ter uma função aproximada para o número de decaimentos por segundo. Agora é só integrar isso com t indo de t = 0,0   h até t = 12   h .

Começando com a amostra da reta verde:

n 1 = 3600 ∫ 0 12 2500 e - 0,36   t  

n 1 = 3600 2500 1 - 0,36 e - 0,36   12 + 1 0,36 e 0 = 2,4 × 10 7

E para a reta vermelha:

n 2 = 3600 ∫ 0 12 5000 e - 1,80   t  

n 2 = 3600 5000 1 - 1,80 e - 1,80   12 + 1 1,80 e 0 = 1,0 × 10 7

Passo 6

(d) Agora queremos saber quandos núcleos de cada tipo ainda estão presentes quando t = 5,0   h .

É só usar as nossas integrais de novo! Mas dessa vez vamos integrar só a partir de t = 5 h !

Por que isso? Porque assim estamos pegando todos núcleos que ainda estavam “vivos” em t = 5,0   h , e só desapareceram nesse intervalo 5   h ≤ t ≤ 12   h :

A primeira integral fica:

n 1 ' = 3600 ∫ 5 12 2500 e - 0,36   t  

n 1 ' = 3600 2500 1 - 0,36 e - 0,36   5 + 1 0,36 e 0 = 3,8 × 10 6

E a segunda:

n 2 ' = 3600 ∫ 5 12 5000 e - 1,80   t  

n 2 ' = 3600 5000 1 - 1,80 e - 1,80   5 + 1 1,80 e 0 = 1,2 × 10 3

Pronto! Calculamos tudo que foi pedido!

Uma coisa é importante destacar aqui. Nós usamos um método bem simplficado pra calcular os coeficientes das nossas retas lá em cima!

A vantagem desse método é que dá pra fazer sem usar o computador. Só não estranhe se você fizer no computador, com um método mais sofisticado, e achar uma resposta um pouquinho diferente! Mas a nossa resposta já é uma aproximação muito boa!

Resposta

(a) Temos dois nucleotídeos diferentes.

(b) As meias vidas são 1,93   h e 0,39   h .

(c) Inicialmente temos 2,4 × 10 7 núcleos do tipo que tem meia vida mais longa, e 1,0 × 10 7 núcleos do tipo com vida mais curta.

(d) Em t = 5,0   h , o número de núcleos do tipo com vida longa é 3,8 × 10 6 , e do tipo com vida curta é 1,2 × 10 3 .

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