Enunciado

72 . Em um arranjo como o das Figs. 38 - 14 e 38 - 15 , os elétrons do feixe incidente têm uma velocidade de 1,60 × 10 7 m s e na região 2 existe um potencial elétrico de V 2 = - 500   V . Qual é o número de onda a na região 1 e b na região 2 ? c Qual é o coeficiente de reflexão? d Se 3,00 × 10 9 elétrons incidirem no degrau de potencial, quantos, aproximadamente, serão refletidos?

Passo 1

Vem comigo que a gente detona com essa questão juntos!

Para calcularmos o vetor de onda do elétron, podemos usar a seguinte equação:

k = 2 π h 2 m E T

Onde E T é a energia total do elétron na região que temos interesse, na região 1 como o enunciado nos dá a velocidade do elétron, a energia vai ser igual a energia cinética K do elétron, já na região dois como temos a energia potencial, a energia total vai ser dada por E T = K - U b .

Mas o enunciado nos dá o potencial elétrico na região 2 para encontramos a energia potencial elétrica vamos usar o fato que:

U = q V

Onde q nesse caso é carga do elétron - e e V o potencial que temos - 500   V , assim:

U b = 500   e V

Para encontrarmos o coeficiente de reflexão temos que avaliar as funções de onda do elétron nessas duas regiões, para a região 1 , temos:

ψ 1 x = A e i k 1 x + B e - i k 1 x

E para a região 2 , temos:

ψ 2 x = C e i k 2 x

Que são as equações ( 38 - 31 ) e ( 38 - 33 ) do livro.

Tendo isso vamos usar as condições de contorno ao nosso favor e assim calcular o coeficiente de reflexão que é dado pelo módulo quadrado da razão entre o coeficiente da onda refletida ( B ) sobre o da onda incidente ( A ) .

Depois que tivermos esse coeficiente de reflexão basta multiplicá-lo pelo número de elétrons incidentes que saberemos quantos elétrons refletiram.

Vamos as contas!

Passo 2

Começando com o item ( a ) .

Antes vamos achar a energia K , temos:

K = m v 2 2

A massa m do elétron é dada por m = 9,11 × 10 - 31   k g e a velocidade o enunciado já deu, assim:

K = ( 9,11 × 10 - 31 ) ( 1,6 × 10 7 ) 2 2 = 1,17 × 10 - 16   J

Agora podemos calcular k 1 , temos:

k 1 = 2 π h 2 m K

A constante de Planck h = 6,626 × 10 - 34   J ⋅ s , assim:

k 1 = 2 π 6,626 × 10 - 34 2 ( 9,11 × 10 - 31 ) ( 1,17 × 10 - 16 )

= 9,48 × 10 33 2,13 × 10 - 46

Então temos que:

k 1 = 1,38 × 10 11   m - 1

Passo 3

Agora vamos para o item ( b ) .

Na região 2 , temos que E T = K - U b , onde U b = 500   e V passando para Joules temos U b = 8 × 10 - 17   J , assim E T = 3,7 × 10 - 17   J

Substituindo os valores na equação temos:

k 2 = 2 π 6,626 × 10 - 34 2 ( 9,11 × 10 - 31 ) ( 3 , 7 × 10 - 17 )

= 9,48 × 10 33 6,74 × 10 - 47

Então temos que:

k 2 = 7 , 78 × 10 10   m - 1

Passo 4

Agora vamos para o item ( c ) .

Temos as seguintes funções de onda:

ψ 1 x = A e i k 1 x + B e - i k 1 x

ψ 2 x = C e i k 2 x

Temos que aplicar as condições de contorno para as funções de onda, essas condições são ψ 1 0 = ψ 2 ( 0 ) e ψ 1 ' 0 = ψ 2 ' ( 0 ) .

Aplicando a primeira, temos:

A + B = C

Aplicando a segunda, temos:

A k 1 - B k 1 = C k 2

⇒ A k 1 k 2 - B k 1 k 2 = C

Substituindo essa equação na primeira que encontramos, temos:

A + B = A k 1 k 2 - B k 1 k 2

⇒ - A 1 - k 1 k 2 = B 1 + k 1 k 2

A = - B 1 + k 1 k 2 1 - k 1 k 2

Achamos uma relação entre A e B , agora podemos calcular o coeficiente de reflexão R .

Passo 5

Temos o seguinte então:

R = B A 2

Usando o que encontramos, temos:

R = B - B 1 + k 1 k 2 / 1 - k 1 k 2 2 = 1 - k 1 k 2 1 + k 1 k 2 2

Substituindo os valores de k 1 e k 2 , encontramos que:

R = 0,0772

Passo 6

Agora vamos para o último item, letra ( d ) .

O número de elétrons incidente é 3 × 10 9 e como temos um coeficiente de reflexão de 1 / 9 , o número de elétrons refletidos vai ser dado por:

N R = R N i

= 0,0772 ( 3 × 10 9 )

Assim temos que:

N R = 2,32 × 10 8

Finalizamos a questão com sucesso!

Resposta

( a )

k 1 = 1,38 × 10 11   m - 1

( b )

k 2 = 7,78 × 10 10   m - 1

( c )

R = 0,0772

( d )

N R = 2,32 × 10 8

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