Enunciado

100 . Algumas linhas típicas do hidrogênio são observadas no espectro do quasar 3 C 9 , mas estão tão deslocadas para o vermelho que apresentam um comprimento de onda 3,0 vezes maior que as mesmas linhas observadas em um laboratório terrestre. ( a ) Mostre que, nessa situação, o uso da equação clássica do efeito Doppler leva a uma velocidade relativa de recessão maior que a velocidade da luz. ( b ) Supondo que o movimento relativo entre o quasar 3 C 9   e a Terra se deve unicamente à expansão do universo, calcule a velocidade de recessão que é prevista pelo efeito Doppler relativístico

Passo 1

Vamos lembrar de peças-chaves para resolver esse exercício, a primeira dela é a equação clássica do efeito Doppler que é dada por:

f = v + v i v + v f f 0

Onde v i = 0 pois o observador está parado, ou seja:

f = v v + v f f 0

Contudo, quando se trata da luz é muito mais fácil medir o comprimento de onda do que a frequência e como sabemos que f = c / λ temos que:

c λ = v v + v f c λ 0

O enunciado também pede a velocidade de recessão prevista pelo efeito Doppler relativístico e podemos consegui-la através da equação 37.3 1 da teoria do nosso livro já que na expansão do universo o observador e a fonte estão de afastando.

f = f 0 1 - β 1 + β

Com isso estamos prontinhos para resolver bem esse exercício!!

Passo 2

a ) Para resolver esse item vamos usar a equação clássica já com a mudança que fizemos no passo anterior.

c λ = v v + v f c λ 0

Nesse caso nós queremos o v f , então vamos isolá-lo e ver no que podemos chegar:

c λ   v + v f v = c λ 0     ⇒     1 + v f v = c λ 0 ⋅ λ c   ⇒     v f = v λ λ 0 - 1  

As linhas típicas do hidrogênio são observadas pelo laboratório com o comprimento de onda 3 vezes maior que o seu comprimento de onda λ = 3 λ 0 e sabemos v pois é a velocidade da luz, ou seja:

v f = c 3 λ 0 λ 0 - 1 = 2 c

Mostramos então que v f > c pois 2 c > c .

Passo 3

b )   Usando agora a última equação que mostramos no Passo 1, vamos isolar o β pois através dele que vamos conseguir o resultado que queremos:

1 - β 1 + β = f f 0 2   ⇒ 1 - β = f f 0 2 1 + β ⇒ β + f f 0 2 β = 1 - f f 0 2 ⇒

    β = 1 - f f 0 2 1 + f f 0 2 = 1 - 1 3 2 1 + 1 3 2 = 0,80

Como sabemos que β = v / c , então:

v = 0,80 c

Resposta

( a )

Mostrado acima!

( b )

v = 0,80 c

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