Enunciado

75. Intensidade em uma rede com N fendas, continuação. O item ( d ) do problema anterior fornece a intensidade na figura de interferência de N fendas idênticas. Use esse resultado para verificar as seguintes afirmações: a ) A intensidade máxima da figura é dada por N 2 I 0 . b ) O máximo principal do centro da figura se estende desde ϕ = - 2 π / N até ϕ = 2 π / N , de modo que sua largura é proporcional a 1 / N . c ) Ocorre um mínimo quando ϕ é um múltiplo inteiro de 2 π / N , exceto quando ϕ é um múltiplo inteiro de 2 π (que fornece um máximo principal). d ) Existem ( N - 1 ) mínimos entre dois máximos principais consecutivos. e ) Na metade entre dois máximos principais, a intensidade não pode ser maior do que I 0 ; ou seja, ela não pode ser maior do que 1 / N 2 vezes a intensidade de um máximo principal.

Passo 1

Então galera cada item desse problema é uma demonstração diferente, então para não ficar tão confuso eu vou explicar cada item em um passo diferente. Assim vamos conseguir vencer esse problema juntos.

Só para já deixar aqui o resultado do item ( d ) do problema 74 , temos:

I = I 0 sen 2 ⁡ ( N ϕ / 2 ) sen 2 ⁡ ( ϕ / 2 )

Passo 2

Vamos começar com o item ( a ) .

Ele quer que através da equação que está no passo 1 mostremos que a intensidade máxima é:

I = N 2 I 0

Para isso temos que nos ligar que ϕ = ( 2 π d sen ⁡ θ ) / λ e a intensidade máxima ocorre para θ = 0 , logo temos que ϕ = 0 , mas se substituirmos isso de cara na equação encontraremos

I = 0 0

E isso não é viável, por isso vamos tomar o limite da função I com ϕ → 0 , então temos que:

lim ϕ → 0 ⁡ I 0 sen 2 ⁡ ( N ϕ / 2 ) sen 2 ⁡ ( ϕ / 2 )

Para resolver esse problema vamos aplicar l’Hôpital’s na seguinte expressão:

lim ϕ → 0 ⁡ sen ⁡ ( N ϕ / 2 ) sen ⁡ ( ϕ / 2 )

Temos então que:

lim ϕ → 0 ⁡ N / 2 1 / 2 co s ⁡ ( N ϕ / 2 ) co s ⁡ ( ϕ / 2 ) = N

Então voltando ao nosso limite original, temos que:

lim ϕ → 0 ⁡ I 0 sen 2 ⁡ ( N ϕ / 2 ) sen 2 ⁡ ( ϕ / 2 ) = I 0 N 2

Então temos que I m á x = I 0 N 2

Passo 3

Agora vamos para o item ( b ) .

Você concorda comigo que o máximo principal ele começa em um mínimo e termina no outro, então temos que a largura dele vai de um mínimo a outro e usando a equação da intensidade vemos que ela é mínima quando o numerador é zero, assim:

sen 2 ⁡ N ϕ 2 = 0

⇒ N ϕ 2 = π

⇒ ϕ = 2 π N

Então ele vai de - 2 π / N até 2 π / N .

Então a sua largura é dada por:

2 π N + 2 π N = 4 π N

Logo sua largura é sim proporcional a 1 / N já que 4 π é uma constante.

Passo 4

Agora temos o item ( c ) .

É o seguinte sempre que temos que:

N ϕ 2 = n π

onde n é um número inteiro, sabemos que o numerador zera, fornecendo um mínimo de intensidade, bem dizer o que discutimos no passo anterior. Então como vimos no passo anterior I é mínimo sempre que

ϕ = 2 n π N

Mas isso só é verdade se o denominador também não chegar a zero.

Só que a vida não é só flores kkk, uma hora isso acontece quando

ϕ 2 = m π

ϕ = m 2 π

Onde m é um número inteiro. Mas nós vimos no item ( a ) que quando os dois vão para zero, temos um máximo.

Uma outra conclusão que podemos chegar é que temos um máximo quando a razão n / N é inteira.

Passo 5

Agora vamos discutir o item ( d ) .

Do passo anterior vimos que temos um máximo quando a razão n / N é inteira. Então suponhamos que o primeiro n é zero, então teremos um máximo.

O próximo máximo só ocorrerá quando n = N , assim todos os n entre n = 0 e n = N são mínimos, assim temos que os mínimos ocorrem quando

n = 1,2 , 3 , … N - 1

Então temos N - 1 mínimos.

Passo 6

E por último e finalmente o item ( e ) .

A metade entre dois máximos é bem dizer o limite desses máximos e vimos e vimos no passo 3 que isso representa um mínimo e que nessa situação vimos que ϕ = 2 n π / N então contando que a razão entre n e N não seja inteira teremos intensidades menores que I 0 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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