Enunciado

74. Intensidade em uma rede com N fendas. a ) Considere uma rede com N fendas com uma distância d constante entre fendas adjacentes. As fendas emitem coerentemente e em fase ondas de comprimento de onda λ . Mostre que para um instante t o campo elétrico em um ponto P distante é dado por

E P t = E 0 cos ⁡ ( k R - ω t ) + E 0 cos ⁡ ( k R - ω t + ϕ )

+ E 0 cos ⁡ ( k R - ω t + 2 ϕ ) + …

+ E 0 cos ⁡ ( k R - ω t + ( N - 1 ) ϕ )

onde E 0 é a amplitude no ponto P do campo elétrico produzido por uma fenda individual, ϕ = ( 2 π d sen ⁡ θ ) / λ , sendo θ o ângulo formado pelo raio que atinge o ponto P (medido a partir da perpendicular que passa pelo centro do conjunto das fendas) e R é a distância entre o ponto P e a fenda mais afastada. Neste problema, suponha que R seja muito maior do que d . b ) Para fazer a soma indicada no item ( a ) , é conveniente usar a seguinte relação envolvendo o número complexo

e i z = cos ⁡ z + i sen ⁡ z ,

Onde i = - 1 . Na expressão anterior, cos ⁡ z é a parte real do número complexo e i z e sen ⁡ z é sua parte imaginaria. Mostre que o campo elétrico E P ( t ) é dado pela parte real da grandeza complexa

∑ n = 0 N - 1 E 0 e i ( k R - ω t + n ϕ )

c ) Usando a propriedade da função exponencial e A e B = e ( A + B ) e a propriedade e A n = e n A , mostre que a soma do item ( b ) pode ser escrita na forma

E 0 e i N ϕ - 1 e i ϕ - 1 e i ( k R - ω t ) = E 0 e i N ϕ / 2 - e - i N ϕ / 2 e i ϕ / 2 - e - i ϕ / 2 e i ( k R - ω t + N - 1 ϕ / 2 )

A seguir, usando a relação e i z = cos ⁡ z + i sen ⁡ z , mostre que o campo elétrico (real) no ponto P é

E P t = E 0 sen ⁡ ( N ϕ / 2 ) sen ⁡ ( ϕ / 2 ) cos ⁡ [ k R - ω t + N - 1 ϕ / 2 ]

A grandeza entre os dois primeiros colchetes na expressão anterior é a amplitude do campo elétrico no ponto P . d ) Use o resultado da amplitude do campo elétrico do item ( c ) para mostrar que a intensidade para qualquer ângulo θ é dada por

I = I 0 sen ⁡ ( N ϕ / 2 ) sen ⁡ ( ϕ / 2 ) 2

onde I 0 é a intensidade máxima de uma única fenda. e ) Verifique o resultado geral do item d ) para o caso N = 2 . Será útil lembrar que sen ⁡ 2 A = 2 sen ⁡ A cos ⁡ A . Explique por que seu resultado difere de um fator 4 do resultado mostrado na Equação ( 35.10 ) , que fornece a expressão da intensidade na experiência de fenda dupla. (Sugestão: I 0 é definido do mesmo modo nas duas expressões?)

Passo 1

Então galera cada item desse problema é uma demonstração diferente, então para não ficar tão confuso eu vou explicar cada item em um passo diferente. Assim vamos conseguir vencer esse problema juntos.

Passo 2

Começando com o item ( a ) .

O campo elétrico de uma única fenda pode ser dado por:

E = E 0 cos ⁡ ( k R - ω t )

Nesse caso de fendas múltiplas podemos considerar cada fenda com sendo uma fonte onde essa fonte pode ser considerada uma onda avaliada em x = R com uma amplitude máxima E 0 . Mas cada fonte sucessiva pegará uma fase extra devido ao seu percurso até o ponto P .

Então somando as contribuições de cada fonte e incluindo a acumulação de

diferença de fase que cada fonte apresenta, encontramos a expressão fornecida.

Passo 3

Agora vamos analisar o item ( b ) .

Ele quer que mostremos que o campo E P fornecido pelo enunciado é dada pela parte real da seguinte expressão:

∑ n = 0 N - 1 E 0 e i ( k R - ω t + n ϕ )

A parte real e a parte imaginária dessa expressão vêm do termo da exponencial, usando aquela relação dada pelo enunciado, temos que:

e i ( k R - ω t + n ϕ ) = cos ⁡ ( k R - ω t + n ϕ ) + i sen ⁡ ( k R - ω t + n ϕ )

Onde a parte real dessa expressão é cos ⁡ ( k R - ω t + n ϕ ) , então temos o seguinte até agora.

R e ∑ n = 0 N - 1 E 0 e i ( k R - ω t + n ϕ ) = ∑ n = 0 N - 1 E 0 cos ⁡ ( k R - ω t + n ϕ )

Agora se abrirmos essa soma, temos que:

E 0 cos ⁡ ( k R - ω t ) + E 0 cos ⁡ ( k R - ω t + ϕ ) + E 0 cos ⁡ ( k R - ω t + 2 ϕ ) + …

… + E 0 cos ⁡ ( k R - ω t + ( N - 1 ) ϕ )

Passo 4

Vamos para mais um, agora o item ( c ) .

Esse item ( c ) parece ser bem grandinho, mas não impossível. Ele quer que mostremos duas coisas a partir da soma que temos do item ( b ) .

∑ n = 0 N - 1 E 0 e i ( k R - ω t + n ϕ )

E ele sugere usarmos algumas propriedades e é isso que nós vamos fazer. Então temos o seguinte:

E 0 ∑ n = 0 N - 1 e i ( k R - ω t + n ϕ )

⇒ E 0 ∑ n = 0 N - 1 e i k R e - i ω t e i n ϕ

Como as duas primeiras exponenciais não dependem de n podemos jogá-las para fora do somatório. Assim:

⇒ E 0 e i ( k R - ω t ) ∑ n = 0 N - 1 e i n ϕ

⇒ E 0 e i ( k R - ω t ) ∑ n = 0 N - 1 e i ϕ n

Agora para abrir esse somatório de uma forma simples, vamos fazer a seguinte substituição x = e i ϕ , já que:

∑ n = 0 N - 1 x n = x N - 1 x - 1

Então temos que:

E 0 e i ( k R - ω t ) ∑ n = 0 N - 1 e i ϕ n = E 0 e i ( k R - ω t ) e i N ϕ - 1 e i ϕ - 1

Com isso uma parte da primeira igualdade já encontramos, agora vamos para segunda parte dessa igual, para isso vamos fazer o seguinte:

e i N ϕ - 1 e i ϕ - 1 = e i N ϕ / 2 ( e i N ϕ / 2 - e - i N ϕ / 2 ) e i ϕ / 2 ( e i ϕ / 2 - e - i ϕ / 2 )

= e i ( N - 1 ) ϕ / 2 ( e i N ϕ / 2 - e - i N ϕ / 2 ) ( e i ϕ / 2 - e - i ϕ / 2 )

Assim temos que:

E 0 e i ( k R - ω t ) e i N ϕ - 1 e i ϕ - 1 = E 0 e i ( k R - ω t + ( N - 1 ) ϕ / 2 ) ( e i N ϕ / 2 - e - i N ϕ / 2 ) ( e i ϕ / 2 - e - i ϕ / 2 )

Agora por último, para encontrarmos a segunda igualdade, vamos usar que e i z = cos ⁡ z + i sen ⁡ z , assim temos:

E 0 cos ⁡ k R - ω t + ( N - 1 ) ϕ / 2 + i sin ⁡ k R - ω t + ( N - 1 ) ϕ / 2 ⋅

⋅ ( cos ⁡ ( N ϕ / 2 ) + i sen ⁡ ( N ϕ / 2 )   - cos ⁡ N ϕ / 2 + i sen ⁡ ( N ϕ / 2 ) ) cos ⁡ ϕ / 2 + i sen ⁡ ( ϕ / 2 ) - cos ⁡ ϕ / 2 + i sen ⁡ ( ϕ / 2 )

= E 0 cos ⁡ k R - ω t + ( N - 1 ) ϕ / 2 + i sin ⁡ k R - ω t + ( N - 1 ) ϕ / 2 2 i sen ⁡ ( ϕ / 2 ) 2 i sen ⁡ ( ϕ / 2 )

Pegando somente a parte real temos que:

E P t = E 0 cos ⁡ k R - ω t + ( N - 1 ) ϕ / 2 sen ⁡ ( N ϕ / 2 ) sen ⁡ ( ϕ / 2 )

Passo 5

Vamos agora para o item ( d ) .

Ele quer que a partir do resultado do item ( c ) encontremos a intensidade. Para isso basta lembrar que:

I = E 2

Fazendo isso temos que:

I = E 0 2 cos 2 ⁡ k R - ω t + ( N - 1 ) ϕ / 2 sen 2 ⁡ ( N ϕ / 2 ) sen 2 ⁡ ( ϕ / 2 )

Fazendo que I 0 = E 0 2 cos 2 ⁡ k R - ω t + ( N - 1 ) ϕ / 2 , temos que:

I = I 0 sen 2 ⁡ ( N ϕ / 2 ) sen 2 ⁡ ( ϕ / 2 )

Onde que para o tempo médio temos que:

I 0 ∝ E 0 2 2

Passo 6

Agora temos o item ( e ) .

Ele quer que avaliemos a intensidade para o caso em que N = 2 (uma fenda dupla), assim temos que:

I = I 0 sen 2 ⁡ ( 2 ϕ / 2 ) sen 2 ⁡ ( 2 ϕ / 2 )

= I 0 sen 2 ⁡ ( ϕ ) sen 2 ⁡ ( ϕ / 2 )

Usando a propriedade trigonométrica fornecida no item ( e ) , temos que:

I = I 0 2 sen ⁡ ( ϕ / 2 ) cos ⁡ ( ϕ / 2 ) 2 sen 2 ⁡ ( ϕ / 2 )

= I 0 4 sen 2 ⁡ ( ϕ / 2 ) cos 2 ⁡ ( ϕ / 2 ) sen 2 ⁡ ( ϕ / 2 )

Então temos que:

I = 4 I 0 cos 2 ⁡ ϕ 2

Agora, o fator 4 que temos diferente da equação 35.10 é por conta de como definimos nosso I 0 .

Observando a equação 35.9 vemos que ele define I 0 ' da seguinte forma:

I 0 ' ∝ 2 E 0 2

Já no caso do item ( d ) temos que:

I 0 ∝ E 0 2 2

Então temos que:

I 0 ∝ E 0 2 2 = I 0 ' 4

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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