Enunciado

Ache a frequência fundamental e a frequência de cada um dos três primeiros sobretons de um tubo de 45,0   c m de comprimento sabendo que a) o tubo possui as duas extremidades abertas; b) uma das extremidades do tubo está fechada. Use o valor v = 344   m / s . c) Em cada um dos casos anteriores, qual é o número de harmônicos superiores que podem ser ouvidos por uma pessoa capaz de ouvir frequências no intervalo de 20   H z até 20000   H z ?

Passo 1

a) O tubo está aberto nas extremidades, usamos então a equação:

f n = n v 2 L

Como queremos o modo fundamental:

f 1 = v 2 L

Temos o comprimento do tubo e a velocidade do som:

f 1 = 344   m / s 2 ( 0,45   m ) = 382   H z

Com esse valor a gente pode calcular os próximos modos:

f n = n f 1

f 2 = 2 f 1 = 764   H z

f 3 = 1146   H z

f 4 = 1528   H z

Esses serão os três sobretons.

Passo 2

b) Para o tubo com uma extremidade fechada, a gente usa a equação:

f n = n v / 4 L

No caso do modo fundamental:

f 1 = v 4 L

Substituindo os valores:

f 1 = ( 344   m / s ) 4 ( 0,45   m ) = 191   H z

Como n só pode assumir valores ímpares para o caso de uma das extremidades fechadas, o primeiro sobretom será n = 3 , o segundo n = 5 e o terceiro n = 7 . Usando o modo fundamental para calcular os outros:

f n = n f 1

A gente tem:

f 3 = 573   H z

f 5 = 955   H z

f 7 = 1337   H z

Passo 3

c) A questão quer saber quantos harmônicos acima do fundamental é possível ser escutado por uma pessoa, como o limite superior de frequência que podemos ouvir é 20000   H z , basta dividir esse valor pelo valor da frequência no modo fundamental, isso é o mesmo que aplicarmos a equação:

f n = n f 1

E isolarmos n :

n = f n f 1

No f n a gente põe o limite da nossa audição e no f 1 a frequência fundamental. Vamos começar pelo tubo aberto nas duas extremidades:

n = 20000   H z 382   H z

n = 52

E para o tubo fechado em uma:

n = 20000   H z 191   H z = 104

Mas como só podem n ímpares:

n = 103

Resposta

a )   f 1 = 382   H z

f 2 = 764   H z

f 3 = 1146   H z

f 4 = 1528   H z

b )   f 1 = 191   H z

f 3 = 573   H z

f 5 = 955   H z

f 7 = 1337   H z

c )   n = 52

n = 103

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