Enunciado

Uma barra uniforme de 165   N é sustentada horizontalmente por dois fios idênticos, A e B (Figura 16.43). Um pequeno cubo de chumbo de 185   N é colocado a 3 / 4 do caminho entre A e B . Os fios medem cada um 75,0   c m de comprimento e possuem uma massa de 5,50   g . Se ambos os fios são puxados simultaneamente em seu centro, qual é a frequência dos batimentos que eles produzirão ao vibrar em sua frequência fundamental?

Passo 1

Cada força sobre a barra produzirá torque nela, como a barra mantém um movimento harmônico, podemos dizer que não existe aceleração angular, então:

∑ τ = 0

Vamos considerar que o eixo de rotação é o ponto onde o fio A está pendurado (poderia ser o B , não vai alterar o resultado).

Expressando cada torque na soma:

F A d a + F B d B + F g d c m + F b l o c o d b l o c o = 0

Como d A = 0 , ou seja, a distância entre a força aplicada e o ponto de rotação é zero, o primeiro termo some

Vamos considerar o sentido anti-horário como positivo, a equação fica:

F B d B - F b a r r a d c m - F b l o c o d b l o c o = 0

Isolamos F B :

F B = F b a r r a d c m + F b l o c o d b l o c o d B

Agora a gente tem uma equação para encontrar a força que o fio B faz sobre a barra. O peso e a distância do bloco são dados, o peso da barra também, e a distância do centro de massa até o ponto A é 1 2 L , e d B = L . Substituindo tudo:

F B = 165   N 1 2 L + 185   N 3 4 L   L

Cortando os comprimentos:

F B = 1 2 165   N + 3 4 185   N

F B = 221   N

Passo 2

Agora vamos encontrar a força que o fio A faz na barra. Como o movimento se mantém harmônico, as forças do sistema não aceleram e nem desaceleram a periodicidade, então podemos dizer que:

∑ F = 0

Caso alguma das forças produzisse uma aceleração em um sentido (para cima ou para baixo) as vibrações iriam parar o movimento ou produzir um torque total para um dos sentidos (horário ou anti-horário).

A soma das forças é:

F A + F B - F b l o c o - F b a r r a = 0

As duas forças do final ficaram negativas porque o sentido delas é para baixo.

Isolando F A :

F A = F b l o c o + F b a r r a - F B

Substituindo os valores:

F A = 185   N + 165 N - 221   N

F A = 129   N

Passo 3

Pronto, agora a gente tem as duas forças, podemos usar a equação de velocidade da onda em uma corda para cada uma:

v = F μ

E a equação das frequências para uma corda esticada:

f n = n v / 2 L

Como queremos o modo fundamental:

f 1 = v / 2 L

Substituindo v :

f 1 2 L = F μ

f 1 = 1 2 L F μ

Escrevendo a densidade como:

μ = M L

f 1 = 1 2 L F L M = 1 2 F L M L 2 = 1 2 F M L

Passo 4

Por fim, usamos a equação de batimentos:

f b a t = | f A - f B |

E substituímos a frequência de cada corda:

f b a t = 1 2 F A M L - F B M L

Substituindo as forças, a massa das cordas e seus comprimentos:

f b a t = 1 2 129   N ( 5,50 × 10 - 3   k g ) ( 0,750   m ) - 221   N ( 5,50 × 10 - 3   k g ) ( 0,750   m )

f b a t = 27,3   H z

Resposta

f b a t = 27,3   H z

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