Enunciado

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Seu amigo que explorar um comércio de passeio de balões. O balão vazio, a cesta e os ocupantes possuem uma massa total máxima de 1000 kg. Se o balão tem um diâmetro de 22,0 m quando totalmente inflado de ar quente, estime a massa específica que deve ter o ar quente. Despreze a força de empuxo sobre a cesta e os passageiros.

Passo 1

Bom, aqui temos uma situação em que o balão juntamente com a cesta e os ocupantes estão imersos em um fluido, no caso, o ar atmosférico. Quando isto acontece nós temos uma força na direção oposta à força peso, chamada de empuxo. Dada por:

E = F g

A força da gravidade é:

F g = m g

Enquanto o empuxo é:

E = ρ f l u i d o V d e s l o c a d o . g

Então gente, chegamos em um ponto importante! Temos que observar que o volume de fluido deslocado será igual ao volume ocupado pelo balão:

E = ρ a r V b a l ã o . g

Agora sim! Substituindo as forças:

ρ a r V b a l ã o . g = m g

ρ a r V b a l ã o = m

Passo 2

Muito bem ! O problema quer a massa específica do ar quente presente dentro do balão, e como faremos para achá-la?

Sabemos que a massa total do balão será:

m = m c a r g a + m a r   q u e n t e

Calma que ainda não, queremos que achar a massa específica do ar quente. Então vamos relacioná-la com a sua massa. Da fórmula que já sabemos:

ρ a r   q u e n t e = m a r   q u e n t e V a r   q u e n t e → m a r   q u e n t e = ρ a r   q u e n t e . V a r   q u e n t e  

O volume ocupado pelo ar quente será o volume do balão:

V a r   q u e n t e = V b a l ã o

Então:

m a r   q u e n t e = ρ a r   q u e n t e V b a l ã o

Substituindo na equação do passo 1:

ρ a r V b a l ã o = m c a r g a + ρ a r   q u e n t e V b a l ã o

Isolando ρ a r   q u e n t e :

ρ a r   q u e n t e = ρ a r V b a l ã o - m c a r g a V b a l ã o

ρ a r   q u e n t e = ρ a r - m c a r g a V b a l ã o

Nós temos que:

m c a r g a = 1000   k g

ρ a r = 1,293   k g / m ³

Então nós temos todos os dados que precisamos, exceto o V b a l ã o .

Passo 3

Agora sim ! O volume é:

V b a l ã o = 4 3 π R ³

Não temos o raio, mas temos o diâmetro:

R = d 2

Então:

V b a l ã o = 1 6 π d ³

Na equação do Passo 2:

ρ a r   q u e n t e = ρ a r - 6 . m c a r g a π d ³

Substituindo os valores:

ρ a r   q u e n t e = 1,293   k g / m ³ - 6.1000   k g π ( 22   m ) ³

Então

ρ a r   q u e n t e = 1,11 k g m 3

Resposta

ρ a r   q u e n t e = 1,11 k g m 3

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