Enunciado

(a)Mostre que ψ = A c o s   k x é uma solução para a equação - h / 2 π 2 2 m d 2 Ψ ( x ) d x 2 = E Ψ ( x ) se k = 2 π 2 m E / h . (b) Explique por que essa não pode ser uma função de onda aceitável para uma partícula em uma caixa com paredes rígidas em x = 0 e x = L independentemente do valor de k .

Passo 1

letra a)

Se isolarmos o termo com a derivada na equação:

- h / 2 π 2 2 m d 2 Ψ ( x ) d x 2 = E Ψ ( x )

Teremos:

d 2 Ψ ( x ) d x 2 = - 2 m h / 2 π 2 E Ψ ( x )

Se considerarmos k = 2 π 2 m E / h , teremos:

d 2 Ψ ( x ) d x 2 = - k 2 Ψ ( x )

E essa equação é equação do oscilador harmônico.

Logo,

ψ = A c o s   k x

é solução do oscilador.

Passo 2

Podemos comprovar isso substituindo a função de onda dada na equação.

d 2 d x 2 A c o s   k x = - k 2 A c o s   k x

d d x d d x A c o s   k x = - k 2 A c o s   k x

d d x - A k   s e n   k x = - k 2 A c o s   k x

- A k 2 c o s   k x = - k 2 A c o s   k x

Passo 3

letra b)

A função de onda de uma partícula em uma caixa é nula nos extremos da caixa ( em x   =   0 e x   =   L ).

Contudo, a função de onda do enunciado, ela não zera em x   =   0 e x   =   L devido ao termo do cosseno. Nas extremidades, ela terá valor máximo.

Resposta

letra b)Não pode ser usada porque nas extremidades tem valor máximo.

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