Enunciado

a)Para um poço de potencial finito indicado na figura, quais são as relações entre as constantes A e B na equação Ψ ( x ) = A   c o s 2 m E h / 2 π x + B   s e n 2 m E h / 2 π x e C e D na equação Ψ x = C e k x + D e - k x obtidas quando aplicamos as condições de contorno segundo as quais Ψ deve ser contínua em x = 0 e x = L ? b)Quais são as relações entre A , B , C e D obtidas quando aplicamos as condições de contorno segundo as quais d Ψ / d x deve ser contínua em x = 0 e x = L ?

Passo 1

letra a)

Para Ψ ser contínua em x = 0 e x = L , precisamos fazer:

Ψ I ( 0 ) = Ψ I I ( 0 )

Ψ I ( L ) = Ψ I I ( L )

Passo 2

Para x = 0 , temos D = 0 :

A   c o s 0 + B   s e n 0 = C e 0

A = C

Passo 3

Para x = L temos que C = 0 e :

A   c o s 2 m E h / 2 π L + B   s e n 2 m E h / 2 π L = + D e - k L

Se considerarmos k = 2 m E h / 2 π :

A   c o s k L + B   s e n k L = D e - k L

Passo 4

letra b)

Para Ψ ' ser contínua em x = 0 e x = L , precisamos fazer:

Ψ ' I ( 0 ) = Ψ ' I I ( 0 )

Ψ ' I ( L ) = Ψ ' I I ( L )

Passo 5

Para x = 0 , considerando k = 2 m E h / 2 π , temos D = 0 :

- k   A   s e n 0 + k   B   c o s 0 = k   C e 0

B = C

Passo 6

Para x = L temos que C = 0 e :

- k   A   s e n k L + k   B   c o s k L = - k D e - k L

- A   s e n k L + B   c o s k L = - D e - k L

A   s e n k L - B   c o s k L = D e - k L

Resposta

letra a) A = C , A   c o s k L + B   s e n k L = D e - k L

letra b) B = C , A   s e n k L - B   c o s k L = D e - k L

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