Enunciado

APLICAÇÃO BIOLOGICA. Depois que um paraquedista salta de um avião (mas antes de puxar o cordão que faz abrir o paraquedas), uma rapidez para baixo de 180   k m /   h pode ser atingida. Quando finalmente o paraquedas é aberto, a força de arraste aumenta de cerca de um fator de dez e isto pode provocar um grande baque sobre o saltador. Seja um paraquedista caindo a 180   k m / h antes de abrir o paraquedas. (a) Supondo que a massa do paraquedista é de 60   k g , determine sua aceleração no momento em que o paraquedas acaba de ser aberto. (b) Se rápidas variações de aceleração maiores que 5,0 g podem causar danos à estrutura do corpo humano, esta prática é segura?

Passo 1

Item a) Olá, querido! Temos dois momentos aqui. Primeiro, o paraquedista pulou do avião e atingiu uma velocidade de v = 180 k m / h .

A gente pode considerar que ele atinge essa velocidade e permanece nela, assim sua aceleração fica em a y = 0 . E aí nessa situação a gente tem a chamada rapidez terminal, que acontece quando a força de arraste (para cima) se iguala a força gravitacional (para baixo).

Podemos lembrar também que a força de arraste para uma rapidez grande como a nossa pode ser expressa como proporcional ao quadrado da velocidade no momento, assim:

F d = b v 2

Onde b é uma constante de proporcionalidade. Nessa situação, a gente pode fazer o diagrama de corpo livre do nosso paraquedista:

Só que ele abre o paraquedas. Isso faz com que F d aumente de um fator de 10 . Aí a aceleração dele deixa de ser nula porque há uma força maior sobre ele voltada para cima. E a pergunta do nosso enunciado é essa: qual é a aceleração dele quando abre o paraquedas?

Passo 2

Cara, vamos começar montando a segunda lei de Newton para esse primeiro momento, para ter uma equaçãozinha que vai ajudar a gente no futuro. Temos

∑ F y = m a y

F d - F g = m a y

Só que como ele está na rapidez terminal, temos a y = 0 . E lembrando que F d = b v 2 e F g = m g :

b v 2 - m g = m 0

b v 2 - m g = 0

b v 2 = m g     i

Passo 3

Agora vamos olhar o segundo momento onde tem a aceleração a y que a gente quer achar. Vamos fazer o diagrama de corpo livre:

Lembra que depois que ele abriu o paraquedas, ficamos com 10 vezes mais força de arraste, por isso agora F d 1 = 10 b v 2 . A segunda lei de Newton fica:

∑ F y = m a y

F d 1 - F g = m a y

10 b v 2 - m g = m a y   i i

Passo 4

Percebe que a única informação que a gente não tem em i i , além da aceleração a y , é o valor de b . Mas a gente pode achar esse cara pela equação i do passo 2:

b v 2 = m g     i

b = m g v 2

Substituindo isso na equação i i do passo anterior:

10 b v 2 - m g = m a y   i i

10 m g v 2 v 2 - m g = m a y

Simplificando:

10 m g = m g = m a y

10 g - g = a y

a y = 9 g

Sabendo que g = 9,81   m / s 2

a y = 9 9,81 = 88,29   m / s 2

Passo 5

Item (b)

Ele diz que variações maiores que Δ a = 5 g (5 vezes a aceleração da gravidade) são prejudiciais à saúde e pergunta se a variação que nosso paraquedista sofre torna a prática desse esporte segura.

A gente viu que ele saiu de a y = 0 para a y = 9 g . Ou seja, tivemos uma variação de aceleração de Δ a = 9 g .

Como essa variação de aceleração excede a aceleração segura em 4 g , ela não é uma prática segura.

Resposta

a   a y = 9 g = 88,29   m / s 2

(b) Essa prática não é segura.

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