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Enunciado

Física - Alonso e Finn - Mecânica- Ed: 2º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 72

Aplique os resultados do Prob. 12.70 ao movimento de um pêndulo simples, substituindo s e n   θ na expressão para F r dada no início da Seç. 12.5 , pelos dois primeiros termos de seu desenvolvimento em série (M.25), obtendo ω ≈ ω 0 1 - θ 0 2 / 16 e θ = θ 0   s e n   ω t + θ 0 3 / 192   s e n   3 ω t . A partir do valor de ω , obtenha diretamente a expressão para o período P , dada no final da Seç. 12.5 .

Passo 1

E aí, beleza?? Do potencial anarmônico definido no problema 12.69 , temos:

d E d t = 0 ∴ m v a + k x v - a x 3 v = 0

Portanto:

x ¨ + ω 0 2 x - α x 3 = 0

Assim, comparando com o pêndulo simples, vem:

θ ¨ = - g l   s e n θ ≈ - g l θ - θ 3 6

Portanto:

θ ¨ + g l θ - g 6 l θ 3 = 0

Ou seja:

ω 0 2 = g l     ;     α = g 6 l = ω 0 2 6

Passo 2

Dessa maneira, supondo uma solução do tipo θ t = A cos ⁡ ( ω t ) + B cos ⁡ ( 3 ω t ) , temos:

θ ¨ = - A ω 2 cos ⁡ ω t - 9 ω 2 B cos ⁡ 3 ω t

θ 3 ≈ A 3 cos 3 ⁡ ω t = A 3 4 3 cos ⁡ ω t + cos ⁡ ( 3 ω t )

Portanto, temos:

- A ω 2 cos ⁡ ω t - 9 ω 2 B cos ⁡ 3 ω t + ω 0 2 A cos ⁡ ω t + ω 0 2 B cos ⁡ 3 ω t = 3 α A 3 4 cos ⁡ ω t + α A 3 4 cos ⁡ ( 3 ω t )

Fazendo a identidade entre os dois termos, temos:

A ω 0 2 - ω 2 cos ⁡ ω t + B ω 0 2 - 9 ω 2 cos ⁡ 3 ω t = 3 α A 3 4 cos ⁡ ω t + α A 3 4 cos ⁡ ( 3 ω t )

Portanto:

ω 2 = ω 0 2 - 3 α A 2 4

B = α A 3 4 ω 0 2 - 9 ω 2

Passo 3

Como θ 0 = θ 0 , vem:

A + B = θ 0

Portanto, como A ≫ B , vem que A ≈ θ 0 , Ou seja:

ω 2 = ω 0 2 - 3 4 g 6 l θ 0 2

Portanto:

ω 2 = ω 0 2 1 - θ 0 2 8 ∴ ω = ω 0 1 - θ 0 2 8 1 2

Utilizando a aproximação 1 + x n ≈ 1 + n x , chegamos em:

ω = ω 0 1 - θ 0 2 16

Passo 4

Dessa maneira, para o B , temos:

9 ω 2 - ω 0 2 = 8 ω 0 2 - 9 8 ω 0 2 θ 0 2 ∴ 9 ω 2 - ω 0 2 ≈ 8 ω 0 2

Portanto:

B = - ω 0 2 6 ⋅ θ 0 3 4 ⋅ 8 ω 0 2 = - θ 0 3 192  

Logo:

θ t = θ 0   s e n ω t - θ 0 3 192   s e n 3 ω t

Passo 5

Para o período:

T = 2 π ω ≈ 2 π 1 - θ 0 2 16 l g

Ou, ainda:

T ≈ 2 π l g 1 + θ 0 2 16

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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