Enunciado

Um aquecedor de 100 W é projetado para operar com uma tensão aplicada de 120   V . (a) Qual é a resistência do aquecedor e qual é a corrente que ele conduz? (b) Mostre que, se a diferença de potencial V no aquecedor varia por uma pequena quantidade ∆ V , a potência P vaia por uma pequena quantidade ∆ P , onde ∆ P / P ≈ 2 ∆ V / V . Dica: aproxime as variações modelando-as como diferenciais e considere que a resistência é constante. (c) Usando o resultado da Parte (b) determine a potÊncia aproximada fornecida ao aquecedor se a diferença de potencial diminuir para 115   V . Compare seu resultado com a resposta exata.

Passo 1

Podemos usar a definição de energia para encontrar a corrente consumida pelo aquecedor e a lei de Ohm para encontrar sua resistência. Na Parte (b), usaremos a dica para mostrar que:

  Δ P / P   ≈   2 Δ V / V

e na Parte (c) usaremos esse resultado para encontrar a potência aproximada dissipada no aquecedor se a diferença de potencial for diminuída para 115 V.

Passo 2

Vamos usar definição de potência para relacionar a corrente I   consumida pelo aquecedor à sua classificação de potência P e a diferença de potencial através dela V :

P = I V

I = P V

Substituindo os valores numéricos e avalie I :

I = 100 W 120 V

I = 0,833   A

Aplicando a lei de Ohm para relacionar a resistência do aquecedor à tensão através dele e à corrente que ele consome:

R = V I = 120 V 0,833 A = 144 Ω

Passo 3

Aqui vamos usar o macete de cálculo com d P / d V como rendimento diferencial:

d P d V ≈ ∆ P ∆ V

Então:

∆ P   ≈ d P d V ∆ V

Expressando a dependência de P em V :

P = V 2 R

Dessa forma, se R for constante:

d P d V = d d V V 2 R = 2 V R

Substituindo teremos:

∆ P   ≈ 2 V R ∆ V = 2 V 2 R ∆ V V = 2 P ∆ V V  

Então, teremos no fim:

∆ P P = 2 ∆ V V

Passo 4

Aqui vamos usar a potência aproximada dissipada no aquecedor como a soma de seu consumo de energia e a mudança em sua dissipação de energia quando a tensão é diminuída em Δ V :

P ≈ P 0 + ∆ P

Então:

P = P 0 + 2 P 0 ∆ V V   ( 1 )

P = P 0 1 + 2 ∆ V V

Considerando P 0 = 100   W . Assumindo que a diferença entre 120 V e 115 V é boa para três algarismos significativos, substitua os valores numéricos e avalie P :

P = ( 100   W ) 1 + 2 - 5 V 120 V

P = 91 ,   7   W

A potência exata dissipada no aquecedor é:

P e x a t a = V ' 2 R = 115 V 2 144 Ω = 91,8   W

A potência calculada usando a aproximação é 0,1 % menor que a potência calculada com exatidão.

Resposta

I = 0,833   A

R = 144 Ω

P = 91 ,   7   W

P e x a t a = 91,8   W

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