Enunciado

A aresta superior da comporta de uma represa está em contato com a superfície da água. A comporta tem 2,0 m de altura, 4,0 m de largura e uma articulação ao longo de uma linha horizontal passando pelo seu centro (Figura 14.26). Calcule o torque produzida pela força da água em relação ao eixo da articulação. (Sugestão: Use uma procedimento análogo ao adotado no problema 14.49; calcule o torque sobre uma estreita faixa horizontal situada a uma profundidade h e integre sobre a comporta.)

Passo 1

Vamos usar a equação p - p a t m = ρ g y 1 - y 2 = ρ g h para encontrar a pressão do manômetro versus a profundidade, e a equação P = F ⫠ A para relacionar a pressão com a força.

Em uma faixa do portão, calcularemos o torque como força vezes o momento do braço e seguir o procedimento descrito na dica para calcular o torque total.

Seja τ u o torque devido à força útil da água na metade superior do portão, τ 1 seja o torque devido à força sobre metade inferior para calcular o torque total.

Com a convenção de sinalização indicada, τ 1 é positivo e τ u é negativo; portanto, o torque líquido sobre a dobradiça é

τ = τ 1 + τ u

Seja H a altura do portão.

Passo 2

Na metade superior do portão:

Vamos calcular o torque devido à força em uma faixa estreita de altura d y localizada a uma distância y abaixo da parte superior do portão

Em seguida, vamos integrar para obter o torque total.

Passo 3

A força total na tira é d F = p   ( y )   d A , onde p   y = ρ g y é a pressão nessa profundidade e

d A = W d y com   W = 4,00   m

d F = ρ g y W   d y

O momento do braço é

H 2 - y

Então

d τ = p g W H 2 - y y   d y

τ u = ∫ 0 H / 2 d τ = ρ g W ∫ 0 H / 2 H 2 - y y d y = ρ g W H 4 y 2 - y 3 3 0 H / 2

τ u = ρ g W H 3 16 - H 3 24 = ρ g W H 3 48

τ u = 1000 k g m 3 9,80 m s 2 4,00 m 2,00 m 3 / 48 = 6,533 × 10 3   N ⋅ m

Passo 4

Metade inferior do portão:

Considere a faixa estreita mostrada na ultima Figura, a profundidade da faixa é ( H   /   2 + y )

então a força d F é d F = p   ( y )   d A = ρ g ( H   /   2 + y ) W d y

Passo 5

O momento do braço é y , então d τ = ρ g W H 2 + y y d y

τ 1 = ∫ 0 H 2 d τ = ρ g W ∫ 0 H 2 H 2 + y y d y = ρ g W H H y 2 + y 3 3 0 H 2

τ 1 = ρ g W H 3 16 + H 3 24 = ρ g W 5 H 3 48

τ 1 = 1000 k g m 3 9,80 m s 2 4 m 5 2 m 3 / 48 = 3,267 × 10 4   N ⋅ m

Passo 6

Então

τ = τ 1 - τ u = 3,267 × 10 4   N ⋅ m - 6,533 × 10 3   N ⋅ m = 2,61 × 10 4   N ⋅ m

As forças e torques nas metades superior e inferior do portão estão em direções opostas.

o valor líquido subtraindo as magnitudes. O torque na metade inferior é maior que o torque na metade superior já que a pressão aumenta com a profundidade.

Resposta

2,61 × 10 4   N ⋅ m

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